Zinseszins mit nicht-ganzzahliger Laufzeit

07.05.2011, 12:44

Co-Sinus

Zinseszins mit nicht-ganzzahliger Laufzeit

Hallo,

bei der Berechnung von Zinseszinsen ist mir eine Schwierigkeit aufgetreten, die ich mir nicht ganz erklären kann.
Folgende Formel wird verwendet:

$\begin{eqnarray*} K_{n}=K_{0}\cdot q^{n} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} K_{n} \end{eqnarray*}$ das Endkapital, $\begin{eqnarray*} K_{0} \end{eqnarray*}$ das Anfangskapital, $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ den Zinssatz p.a. und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Laufzeit angeben.

Als Beispiel zum Verständnis meines Problems berechne ich das Endkapital bei einer Laufzeit von 1,5 Jahren, also nach 1,5 Jahren wir das eingezahlt Kapital mitsamt Zinsen abgehoben.
Nach der Formel müsste die Lösunge folgendermaßen lauten:

$\begin{eqnarray*} K_{1,5}=100\cdot 1,1^{1,5}=100\cdot 1,1\cdot \sqrt{1,1}\approx 115,37 \end{eqnarray*}$

Das Endkaptial könnte man allerdings in diesem simplen Fall auch folgendermaßen errechnen:

$\begin{eqnarray*} K_{1,5}=100\cdot 1,1\cdot \frac{1,1}{2}=115,5 \end{eqnarray*}$

Diese beiden Ergbnisse aber unterscheiden sich, wobei das letztere rein von der Logik her aber das richtige sein müsste. Allerdings wird für die Berechnung des Zinseszins stets die oben genannte Formel verwendet und somit das erste Ergebnis erreicht. Von einer Einschränkung der Laufzeit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf ganzzahlige Werte habe ich bisher nicht gelesen und Aufgaben diesen Typs wurden auch mithilfe der Formel im Unterricht gelöst. Dieser Fehler müsste aber immer auftreten, wenn die Laufzeit als Bruch vorliegt.

Worin besteht mein Denkfehler?

07.05.2011, 12:50

DP1996

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sorry, denkfehler meinerseits

07.05.2011, 17:26

DP1996

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Aber jetzt: Dein Denkfehler besteht darin, dass die Verzinsung zwischen den ganzen Jahren eben nicht linear verläuft: Die 1. Lösung ist tatsächlich die richtige.
(wobei es darauf ankommt, in welcher Zeitspanne verzinst wird: Wird lediglich einmal im Jahr verzinst, so hättest du natürlcih nach 1,5 Jahren lediglich die Zinsen des ersten Jahres auf dem Konto.)

07.05.2011, 17:46

Huggy

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Zitat:

Original von DP1996
Aber jetzt: Dein Denkfehler besteht darin, dass die Verzinsung zwischen den ganzen Jahren eben nicht linear verläuft: Die 1. Lösung ist tatsächlich die richtige.
(wobei es darauf ankommt, in welcher Zeitspanne verzinst wird: Wird lediglich einmal im

Das stimmt so nicht.

Das ist allerdings keine Frage der Mathematik, sondern eine Frage der konkreten Handhabung durch die Banken. Bei normalen Sparbüchern und vielen anderen Anlageformen werden die Zinsen einmal jährlich gutgeschrieben und ab diesem Zeitpunkz mitverzinst. Zinsen für Teile eines Jahres werden anteilig linear berechnet.

@Co-Sinus
Das entspricht deiner zweiten Formel, nur müsste sie korrekt lauten:

$\begin{eqnarray*} K_{1,5}=100\cdot 1,1 \cdot 1,05 \end{eqnarray*}$

Bei Tagesgeldkonten werden dagegen die Zinsen meist vierteljährlich gutgeschrieben und ab da mitverzinst. Für Teile eines Vierteljahres wird dann wieder linear interpoliert.

07.05.2011, 17:51

DP1996

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Ah, danke Huggy, dass das linear mitverzinst wird war mir bis jetzt nicht klar.
Rein mathematisch gesehen wäre jedoch die erste vorgehensweise die richtige oder?

07.05.2011, 18:03

Huggy

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Zitat:

Original von DP1996
Ah, danke Huggy, dass das linear mitverzinst wird war mir bis jetzt nicht klar.

Dann hast du vermutlich dein Sparbuch noch nie innerhalb eines Jahres komplett geplündert. Man sagt den Banken ja viel Übles nach. Aber wenn du auf ein Sparbuch zum 1. Januar eine bestimmte Summe einzahlst und nach 1,5 Jahren alles abhebst, dann bekommst schon noch anteilig (linear) die Zinsen für das halbe Jahr mitausgezahlt. So ehrlich sind die Banken schon.

Zitat:

Rein mathematisch gesehen wäre jedoch die erste vorgehensweise die richtige oder?

Wie schon gesagt, folgt da die Mathematik der Realität und nicht umgekehrt. In dem Sinne gibt es keine rein mathematische Lösung.

08.05.2011, 00:36

Co-Sinus

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Zitat:

Original von Huggy
@Co-Sinus
Das entspricht deiner zweiten Formel, nur müsste sie korrekt lauten:

$\begin{eqnarray*} K_{1,5}=100\cdot 1,1 \cdot 1,05 \end{eqnarray*}$

Bei Tagesgeldkonten werden dagegen die Zinsen meist vierteljährlich gutgeschrieben und ab da mitverzinst. Für Teile eines Vierteljahres wird dann wieder linear interpoliert.

Ja, natürlich, hab mich bei der Gleichung aus irgendeinem Grund vertan. ^^ Ich hätte vllt erwähnen sollen, dass ich von einem Tagesgeldkonto ausgehe. Augenzwinkern

Also liege ich richtig, wenn ich sage, dass die obige Formel für die Berechnung des Zinseszins mit Bruchteilen der Laufzeit nicht geeignet ist?

08.05.2011, 07:11

Huggy

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Ja, die Formel

$\begin{eqnarray*} K_n=K_0 q^n \end{eqnarray*}$

sollte nur für ganzzahliges n benutzt werden, wobei dann n die Zahl der Zinsperioden ist und q der auf eine Zinsperiode bezogene Zinsfaktor.

Bei einem Tagesgeldkonto mit vierteljährlicher Zinsgutschrift kann man die Formel für 1,5 Jahre benutzen. Man hat dann n = 6 Zinsperioden. Für q ist der Zinsfaktor für ein Vierteljahr zu benutzen.

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