Träger einer Faltung

07.05.2011, 16:14

Gast11022013

Träger einer Faltung

Meine Frage:
Zeigen Sie: [Es geht um Faltung.]

$\begin{eqnarray*} supp (f*g)\subseteq \overline{supp (f)+ supp(g)} \end{eqnarray*}$

So die Originalaufgabe von meinem Übungsblatt.

Macht das Sinn? Oder ist das ein Schreibfehler und die Aufgabe soll eigentlich lauten:

$\begin{eqnarray*} supp (f*g)\subseteq supp (f)+supp (g) \end{eqnarray*}$ [also ohne dem Strich]?

Weil überall in Skripten usw. finde ich nur die letzte Aussage.

Meine Ideen:
..m.E. ist das ein Tippfehler.

07.05.2011, 16:45

sergej88

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Hallo,

in den Skripten wird dann wahrscheinlich aber vorrausgesetzt, dass einer der beiden Träger supp(f) bzw. supp(g) kompakt ist. Ohne diese Vorraussetzung hast du eben hier deine Version.

mfg

07.05.2011, 16:48

Gast11022013

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Kann ich denn erstmal zeigen:

$\begin{eqnarray*} supp (f*g)\subseteq supp(f)+supp(g) \end{eqnarray*}$ ?

[Das habe ich nämlich schon.]

Wie komme ich dann davon auf:

$\begin{eqnarray*} supp(f*g)\subseteq \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ ?

Edit:

Oder folgt "automatisch" daraus, dass $\begin{eqnarray*} x\in supp(f)+supp(g) \end{eqnarray*}$ , dass x auch im Abschluss dieser Menge, also in $\begin{eqnarray*} \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ liegt?

07.05.2011, 19:59

sergej88

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zu demEdit: ja das ist nach Definition des Abschlusses immer so.
Aber da in deiner Aufgabe der Abschluss steht denke ich das bei dir die Vorraussetzungen so gemacht sind, dass du auch die Inklusion wirklich nur für den Abschluss zeigen kannst... wäre zumindest ne Vermutung.

mfg

07.05.2011, 20:13

Gast11022013

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Dann müsste ich ja alles nochmal neu machen. verwirrt

Und ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie man das zeigen kann.

Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in supp(f*g) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} (f*g)(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} 0\neq \int f(y)g(x-y)dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(y)\neq 0 \Rightarrow y\in supp(f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g(x-y)\neq 0 \Rightarrow x-y\in supp(g) \end{eqnarray*}$

[Daraus folgt jedenfalls: $\begin{eqnarray*} x\in supp(g)+y \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} x\in supp(g)+supp(f) \end{eqnarray*}$ .]

Wie aber nun gezeigt werden kann, dass $\begin{eqnarray*} x\in \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ weiß ich leider nicht.

Edit:

Ist nicht: $\begin{eqnarray*} supp(f)+supp(g)={\underbrace{\left\{a\in \mathbb R^n: a=b+c, b\in supp(f),c\in supp(g), h(a)=f(b)+g(c)\neq 0\right\}}_{=:M} \end{eqnarray*}$ , sodass aus Obigem gilt, dass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ .

Oder so ähnlich? traurig

07.05.2011, 20:37

sergej88

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Nach Definition des Trägers ist schon erste Folgerung falsch. Der Träger ist als Abschluss der Menge aller Punkte mit
$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy \neq 0 \end{eqnarray*}$
definiert. Als Abschluss gibt es jedoch eine Folge von Punkten $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\mathbb{R}}f(x_n-y)g(y)dy \neq 0 \end{eqnarray*}$
Darauf kannst du jetzt aufbauen.

Ansonsten: Was genau ist den über f und g bekannt?

mfg

07.05.2011, 20:52

Gast11022013

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Wo kommt denn jetzt plötzlich das mit der Folge her?...

Von f und g weiß man doch gar nichts..

07.05.2011, 21:41

Gast11022013

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Also ich versuche mir das nochmal mit meinem bisschen Mathe-Latein klar zu machen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in supp(f*g) \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} x\in \overline{\left\{x\in \mathbb R^n : (f*g)(x)\neq 0\right\}} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist ja der Abschluss einer Menge die Vereinigung aus dem Inneren und dem Rand.

Das bedeutet doch, dass x entweder im Innern liegt oder auf dem Rand.

Zu zeigen ist in beiden Fällen, dass $\begin{eqnarray*} x\in \overline{\left\{a+b : a\in supp(f), b\in supp(g)\right\}} \end{eqnarray*}$ .

Da man nun nichts über $\begin{eqnarray*} supp(f), supp(g) \end{eqnarray*}$ weiß, d.h., ob sie beispielsweise kompakt sind, weiß man das auch nicht über die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{a+b : a\in supp(f), b\in supp(g)\right\} \end{eqnarray*}$ .

x könnte im Innern dieser Menge liegen oder auf dem Rand oder gar nicht in der Menge sein.

x ist Grenzwert einer Folge, deren Folgenglieder $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ im Innern der Menge liegen:

$\begin{eqnarray*} x_n\in supp(f)+supp(g) \end{eqnarray*}$

[x ist entweder dann auch im Innern der Menge oder liegt auf dem Rand, liegt also in jedem Fall im Abschluss der obigen Menge.]

Ich hoffe, ich habe nicht totalen Blödsinn aufgeschrieben!

Meine Vorgehensweise wäre also zu zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} supp(f)+supp(g) \end{eqnarray*}$ liegen (wie ichs oben fälschlicherweise für x selbst gemacht habe).

unglücklich

08.05.2011, 01:11

Gast11022013

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Ich habe meinen letzten Beitrag nochmal ganz neu geschrieben.

Habe ich dort etwas Richtiges aufgeschrieben oder ist das totaler Mumpitz?

[Entschuldigung, wenn ich evtl. ein wenig drängle. Mich machts nur schrecklich nervös, dass ich immer alles falsch mache.]

08.05.2011, 01:37

BanachraumK_5

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Zitat:

[Entschuldigung, wenn ich evtl. ein wenig drängle. Mich machts nur schrecklich nervös, dass ich immer alles falsch mache.]

Ja du drängelst wirklich ein bißchen... Wink

Zitat:

Meine Frage: Zeigen Sie: [Es geht um Faltung.] $\begin{eqnarray*} supp (f*g)\subseteq \overline{supp (f)+ supp(g)} \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal was sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ; Sollen das Funktionen sein? Wenn ja aus welchem Raum sind sie? Für $\begin{eqnarray*} f \in L^p(\mathbb{R}^n),\ g \in L^1(\mathbb{R}^n), \end{eqnarray*}$ kann man die Aussage mittels Funktionen mit kompakten Träger zeigen, schau dir den Ausdruck;

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} (f * g)(x) \varphi(x) \ dx, \varphi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n),\ supp(\varphi) \subset (\overline{supp(f)+supp(g)})^C \end{eqnarray*}$

genauer an und wende die Faltung an (nachrechnen) beachte dass dann

$\begin{eqnarray*} x \in supp(f) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y \in supp(g). \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das für die Funktionen mit kompakten Träger?

08.05.2011, 01:45

Gast11022013

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In der Aufgabenstellung steht:

$\begin{eqnarray*} f,g\in L^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet das?

08.05.2011, 01:55

BanachraumK_5

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Zitat:

In der Aufgabenstellung steht: $\begin{eqnarray*} f,g\in L^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das?

Das bedeutet, dass die Funktion in diesem Raum liegt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum

Zeige nun

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} (f * g)(x) \varphi(x) \ dx = 0 \end{eqnarray*}$

für
$\begin{eqnarray*} \varphi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n),\ supp(\varphi) \subset (\overline{supp(f)+supp(g)})^C \end{eqnarray*}$
dann folgt leicht

$\begin{eqnarray*} supp (f*g)\subset \overline{supp (f)+ supp(g)}. \end{eqnarray*}$

Beachte, dass das Kompelemt einer abgeschlossenen Menge stets offen ist und verwende $\begin{eqnarray*} \varphi(x+y) = 0,\ x \in supp(f),\ y \in supp(g). \end{eqnarray*}$ (Transformationssatz!)

Mach dir auch mal bewusst warum man die Faltung auf den L^p oder besser den L^1 Räumen betrachtet. Man definiert die Faltung üblicher weise auf $\begin{eqnarray*} L^1_{loc}(\mathbb R^n). \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 11:07

Gast11022013

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Mal kurz zum Verständnis Deines Vorschlags:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in supp(f*g) \end{eqnarray*}$ , das bedeutet ja, dass $\begin{eqnarray*} (f*g)(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} \int_{R} f(y)g(x-y)dy\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{R} (f*g)(x)\varphi(x) dx=0 \end{eqnarray*}$

(wobei $\begin{eqnarray*} \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb R^n), supp(\varphi)\subseteq \overline{supp(f)+supp(g)}^C \end{eqnarray*}$ )

Dann könnte ja, weil $\begin{eqnarray*} (f*g)(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , nur $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Das würde aber bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} x\in supp(\varphi)^C \end{eqnarray*}$ , und
$\begin{eqnarray*} supp(\varphi)^C\subseteq \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ , also wäre
$\begin{eqnarray*} x\in \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ , was man ja gerade zeigen soll.

[Habe ich das so korrekt verstanden?]

Das heißt - wenn ich richtig liege - muss ich "nur" zeigen, dass obiges Integral =0 ist.
(Und dafür benötige ich den Transformationssatz? Um diesen anwenden zu können, braucht man ja einen Diffeomorphismus, der eine offene Menge abbildet. Und diese offene Menge soll jetzt $\begin{eqnarray*} supp(\varphi)^C \end{eqnarray*}$ sein?)

Ich hoffe, ich habe Dich richtig verstanden.

08.05.2011, 19:53

BanachraumK_5

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} (f*g)(x)\varphi(x) dx=0 \end{eqnarray*}$
(wobei $\begin{eqnarray*} \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb R^n), supp(\varphi)\subseteq \overline{supp(f)+supp(g)}^C \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow supp(f*g) \subset \overline{supp(f)+supp(g)}, \end{eqnarray*}$
was klar ist.

Zitat:

Das würde aber bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} x\in supp(\varphi)^C \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} supp(\varphi)^C\subseteq \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ , also wäre $\begin{eqnarray*} x\in \overline{supp(f)+supp(g)} \end{eqnarray*}$ , was man ja gerade zeigen soll. [Habe ich das so korrekt verstanden?]

Ich weiß nicht was du da machst aber ich habe dir oben eingehend erläutert (siehe 1. bzw. 2. Posting) was du machen musst: Du musst folgenden Ausdruck anschauen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} (f*g)(x) \varphi(x)\ dx = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(y) \varphi(x+y) \dx dy= \int_{supp(f)} \int_{supp(g)} f(x)g(y) \varphi(x+y) \ dy dx. \end{eqnarray*}$ Jetzt muss man sich mal überlegen $\begin{eqnarray*} x+y \in supp(f)+supp(g) \Longrightarrow \varphi(x+y) = 0. \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 10:47

Gast11022013

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Okay, danke!!

Leider verstehe ich aber das ganze Argument nicht.

Wieso folgt daraus, dass das obige Integral =0 ist die Behauptung?

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