Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen

Neue Frage »

07.05.2011, 17:38	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen Ich soll die Nebenklassen der Untergruppe $\begin{eqnarray} H=\{1,x^5\} \end{eqnarray}$ der Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_{10} \end{eqnarray}$ berechnen. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich richtig verstanden habe, was eine Links- bzw. Rechtsnebenklasse ist. Stimmt es, dass ich die Linksnebenklassen folgendermassen aussehen: $\begin{eqnarray} \{1,x^5\}, \{x,x^6\}, ... , \{x^4,x^9\},\{x^5,1\},\{x^6, x\}, ... , \{x^9, x^5\}, \{xy,x^6y^{-1}\}, \{x^2y,x^7y^{-1}\}, ... , \{x^9y, x^4 y^{-1}\} \end{eqnarray}$ und die Rechtsnebenklassen : $\begin{eqnarray} \{1,x^5\}, \{x,x^6\}, ... , \{x^4,x^9\},\{x^5,1\},\{x^6, x\}, ... , \{x^9, x^5\}, \{x,y,x^6y\}, \{x^2y,x^7y\}, ... , \{x^9y, x^4 y\} \end{eqnarray}$ Wäre froh, wenn mir jemand Bescheid geben könnte. Ich bin etwas verwirrt, weil ich verschiedene Definitionen gehört bzw. gelesen habe und nun nicht recht weiss, ob ich das jetzt richtig angewendet habe. Vielen Dank schon im Voraus!
07.05.2011, 18:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
...? Hallo, welchen Index hat die Untergruppe in der D10? Wie viele Links bzw. Rechtsnebenklassen gibt es dann denn? Bevor wir nachrechnen, wollen wir erst mal auf "Was ist eine Linksnebenklasse" eingehen. Wie habt ihr das definiert? Wann sind denn zwei Linksnebenklassen gleich?
07.05.2011, 18:25	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Wir haben einfach aufgeschrieben: Sei H eine Untergruppe von G, dann ist: $\begin{eqnarray} aH= \{g\in G\| g=ah, h\in H\}=\{ah\|h \in H\} \end{eqnarray}$ die Linksnebenlasse der Gruppe. Den Index kann man ja mit der Abzählformel: \|G\|=\|H\| [G:H], wobei [G:H], die Anzahl der Linksnebenklassen von H in G darstellt. \|G\|=20. \|H\|=2. Also sollte man 10 Linksnebenklassen bekommen. Hmmm... da stimmt etwas nicht. Da hast du recht. Aber wie bestimmt man nun die Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen? Ich verstehe die Definition irgendwie nicht. Was ist dieses a überhaupt?
07.05.2011, 18:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Die D10 hat bei euch also 20 Elemente? Da gibt es Defintionsunterschiede, daher musste ich erst mal fragen. Mit 10 wären wir schneller fertig gewesen. Wir nehmen: $\begin{eqnarray} aH=\{ah\|h \in H\} \end{eqnarray}$ und wählen die trivialste Nebenklasse zuerst: $\begin{eqnarray} 1H=\{1h\|h \in H\}=H=\{1,x^5\}=x^5H \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ nur ein Repräsentant. Der andere ist $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ . Des weiteren wissen wir, dass je zwei L-NK entweder gleich oder disjunkt sind. Daher $\begin{eqnarray} xH=\{x,x^6\} \end{eqnarray}$ Wie lautet der andere Repräsentant? Weitere Frage, wie habt ihr die Element von D10 allgemein bezeichnet? Habt ihr da in Erzeuger und deren Potenzen und Kombinationen aufgeteilt? Ich denke da an Drehungen und Spiegelungen und an ein semidirektes Produkt bzw. eine Erzeugerdarstellung. Du hattest ja schon y ins Spiel gebracht. Kannst du mir also die D10 mal hinschreiben?
07.05.2011, 19:19	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Ach so, ja: $\begin{eqnarray} D_{10}=\{ 1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7,x^8,x^9,y,xy,x^2y,x^3y,x^4y,x^5y,x^6y,x^7y,x^8y<br /> ,x^9y\} \end{eqnarray}$ Dabei wäre x die Drehung und y die Spiegelung geometrisch betrachtet. Aber irgendwie verstehe ich nicht recht, worauf du hinaus willst. Was habe ich oben konkret falsch gemacht?
07.05.2011, 19:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Ok, dann haben wir o(x)=10, und o(y)=2. Wie lautet denn nun der andere Repräsentant von $\begin{eqnarray} xH=\{x,x^6\} \end{eqnarray}$ ? edit: zu oben. Was sollen z.B. die ...? Außerdem stehen da Mengen doppelt.
Anzeige

07.05.2011, 20:27	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Ach, so, stimmt. Hab' ich gar nicht gemerkt. Der andere Repräsentant von $\begin{eqnarray} x^6H= \{x,x^6\} \end{eqnarray}$ falls du das meinst. Die "..." bedeuten einfach die logische Fortsetzung, hatte keine Lust, das alles aufzuschreiben. Jetzt kürzen sich ja schon 5 Elemente raus, weil ich sie ja teilweise doppelt geschrieben habe. Jetzt müssten sich ja noch weitere 5 Elemente rausstreichen lassen. Aber es gilt ja allgemein nicht, dass: $\begin{eqnarray} x^2yx^5=x^7 y \end{eqnarray}$ . In einer Diedergruppe gilt ja: $\begin{eqnarray} yx=xy^{-1} \end{eqnarray}$ So hab' ich das oben ja auch umgeschrieben. Wo kann man also noch Elemente kürzen?
07.05.2011, 20:40	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Ah, mann bin ich blöd! $\begin{eqnarray} y^{-1} \end{eqnarray}$ ist ja dasselbe wie y!!! Ok. Dann hat sich natürlich alles geklärt. Sorry, für die dumme Frage. Darauf hätte man auch selbst kommen können. Aber vielen Dank auf jeden Fall fürs erklären!
07.05.2011, 20:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...? Wir arbeiten $\begin{eqnarray} 1,x,...,x^9 \end{eqnarray}$ ab und erhalten die 5 Linksnebenklassen (und 10 abgearbeitete Elemente) $\begin{eqnarray} 1H=x^5H=\{1,x^5\},~xH=x^6H=\{x,x^6\},~x^2H=x^7H=\{x^2,x^7\},~x^3H=x^8H=\{x^3,x^8\},x^4H=x^9H=\{x^4,x^9\} \end{eqnarray}$ Nun sollte man wissen, wie man mit x und y rechnet. $\begin{eqnarray} D_{10}=\langle x,y~\|~x^{10}=y^2=1, (yx)^2=e\rangle = \langle x,y~\|~x^{10}=y^2=1, yxy^{-1}=x^{-1}\rangle \end{eqnarray}$ Was ist dann: $\begin{eqnarray} yH=? \end{eqnarray}$ Und was folgt für die anderen Nebenklassen? edit: $\begin{eqnarray} y^{-1} \end{eqnarray}$ ist ja dasselbe wie y

Neue Frage »

Antworten »

Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen

Verwandte Themen