Lipschitz-stetig

07.05.2011, 17:51

maru

Lipschitz-stetig

Meine Frage:
Hi ich hätte Fragen zu folgender Aufgabe und bitte um Hilfe;

Überpüfe die folgenden Funktionen daraufhin, ob sie Lipschitz.stetig sind.

a) $\begin{eqnarray*} f:U^n->R,f(x)=|x|^a-1 \end{eqnarray*}$ jeweils für $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1/2. \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} :R^n \end{eqnarray*}$ komplement $\begin{eqnarray*} U^n->R, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x)=|x|^a-1 \end{eqnarray*}$ jeweils für $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1/2, \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f:U^n \end{eqnarray*}$ komplement $\begin{eqnarray*} \left\{0\right\}->R, f(x)=|x| ^{-1} , \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f:R^{n} \end{eqnarray*}$ komplement $\begin{eqnarray*} U^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ->R,f(x)= |x|^{-1}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also es gilt ja;

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt Lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vert f(x)-f(y)\vert=L\vert x-y\vert \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x, y \in D \end{eqnarray*}$ mit der Lipschitz-Konstanten $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

zu Punkt a), es gilt; $\begin{eqnarray*} |x|^2-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^2-1. \end{eqnarray*}$ Dann folgt;

$\begin{eqnarray*} \vert f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |(|x|^2-1)-(|y|^2-1)| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |x^2-y^2| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |(x+y)(x-y)| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |x+y||x-x| \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich das ganze doch noch abschätzen in einem Intervall $\begin{eqnarray*} I:=[a,b], \end{eqnarray*}$ da mir kein festes $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ vorgegeben wurde. Und zwar muss ich doch betrachten wie hoch die Summe zweier Werte in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ höchstesn sein kann. Da ich $\begin{eqnarray*} I:=[a,b] \end{eqnarray*}$ schon angenommen habe kann ich dann so argumentieren?

Im Allgemeinen kann man $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ doch durch das Betragsmaximum der ersten Ableitung abschätzen. Es folgt;

$\begin{eqnarray*} L:= \max_{x,y\in[a,b]} |f'(x)| = \max_{x,y\in[a,b]} |2x| = 2\max(|b|,|a|). \end{eqnarray*}$

Sind die Schritte so richtig und bin ich damit mit der Aufgabe fertig?

07.05.2011, 18:02

maru

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RE: Lipschitz-stetig
Aber da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ liegt und $\begin{eqnarray*} I:=[a,b] \end{eqnarray*}$ wohl unbeschränkt ist, ist $\begin{eqnarray*} f(x)=|x|^2-1 \end{eqnarray*}$ nicht Lipschitz stetig oder?

08.05.2011, 02:10

BanachraumK_5

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} I:=[a,b] \end{eqnarray*}$ wohl unbeschränkt ist

Ist $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ??
Schrankensatz, Satz von Rademacher(ggf. Beweis durch Widerspruch).
http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit

08.05.2011, 12:50

maru

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Lipschitz-stetig
Also $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sollte doch standartmäßig in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein oder?

Wiki:
Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z.B. $\begin{eqnarray*} f:R->R, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x->x^2. \end{eqnarray*}$
Eine differenzierbare Funktion ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Was ja in meinem Fall nicht ist $\begin{eqnarray*} |f'(x)|=|2x| \end{eqnarray*}$ ist nach oben unbeschränkt, also ist die Fuktion nicht Lipschitz-stetig.

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