Teilerfunktion r(n)

07.05.2011, 19:51

Matheversteher

Teilerfunktion r(n)

hallo matheboarder! Wink

komme hier bei der aufgabe nicht ganz weiter.

also ich weis nicht was ich bei dieser aufgabe machen soll. ich hoffe mir kann jemand die aufgabestellung erklären bzw mir sagen ob meine vermutung richtig ist.

[attach]19519[/attach]

ich bleibe mal bei r(m²)=16

heißt das jetzt,dass ich alle zahlen finden muss, die quadriert 16 teiler haben?
habe dazu die 16 auf ihre teiler "untersucht". Teiler von 16 sind 1,2,4,8,16.

somit habe ich als möglichkeit, für die zahlen:

$\begin{eqnarray*} m² = (p_1)^1\cdot (p_2)^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m² = (p_3)^3\cdot (p_4)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m² = (p_5)^1\cdot (p_6)^1\cdot (p_7)^1\cdot (p_8)^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m² = (p_9)^{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ sind primzahlen

der letzte meiner fälle ist nicht möglich, das m² eine primzahl sein müsste.
aber wie berechne ich nun m² für die anderen fälle? (habe ich noch möglichkeiten vergessen)

ich hoffe ich unterforder euch nicht und danke euch für eure hilfe smile

07.05.2011, 20:01

DP1996

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m^2 ist eine Quadratzahl und soll 16 Teiler haben:
Entweder du denkst darüber nach, ob es eine Quadratzahl mit einer geraden Anzahl Teilern gibt, oder du findest heraus, dass die Exponenten der Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl alle gerade sein müssen.

Ansonsten war dein Anstz ganz gut, verwende ihn für den 2. Aufgabenteil, dort müsste er (vermutlich) ganz gur funktionieren.

07.05.2011, 22:09

Matheversteher

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Hey danke das du mir hilfst Freude

Zitat:

Zitat von DP1996
Entweder du denkst darüber nach, ob es eine Quadratzahl mit einer geraden Anzahl Teilern gibt, oder du findest heraus, dass die Exponenten der Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl alle gerade sein müssen.

aber ich bin mir nicht so sicher, wie ich diesen satz verstehen soll, bzw wie er im zusammenhang mit meiner frage steht.

also eine quadratzahl (habe ich mir jetzt in gedanken überlegt) hat eine ungerade anzahl an teilern, da es immer teiler paare gibt. bei m² hat allerdings m keinen "teilerpartner", da sie mit sich selbst genommen die quadratzahl ergibt.

über den zweiten aspekt, dass die alle gerade sein müssen habe ich mir keine gedanken gemacht. aber wenn ich mir die ersten quadratzahlen von m² (0<m<11) angucke dann stimmt es echt.

--> das heißt, dass es keine quadratzahl gibt die meine bedingungen (sofern ich alle habe) erfüllen können.
aber wie zeige ich jetzt, dass alle quadratzahlen eine ungerade anzahl an teiler haben, bzw. dass die exponenten immer gerade sind? verwirrt

aber wie berechne ich denn jetzt alle mögliichen werte für m bzw n? Hilfe

weildas sind ja dann alle zahlen, zum beispiel für m, mit 2 und 4 unterschiedlichen primfaktoren.

könnte ich dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} m = (p_1)^1\cdot (p_2)^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_3)^3\cdot (p_4)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_5)^1\cdot (p_6)^1\cdot (p_7)^1\cdot (p_8)^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_9)^{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{für} \ p_1\neq p_2 \neq...\neq p_9 \ \text {mit} \ m,p_a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ oder wie? verwirrt

(uii sind jetzt aber viele fragen, ich hoffe du nimmst es mir nicht krumm)

07.05.2011, 22:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheversteher
also eine quadratzahl (habe ich mir jetzt in gedanken überlegt) hat eine ungerade anzahl an teilern, da es immer teiler paare gibt. bei m² hat allerdings m keinen "teilerpartner", da sie mit sich selbst genommen die quadratzahl ergibt.

Richtig. Damit ist eigentlich jedes weitere Nachdenken über die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(m^2)=16 \end{eqnarray*}$ die reinste Zeitverschwendung. Augenzwinkern

07.05.2011, 22:26

DP1996

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Zur Klarstellung: Wenn eine Zahl Quadratzahl ist, hat ihre Primfaktorzerlegung nach den Potenzgesetzen nur gerade Exponenten. Damit besteht die Teileranzahlfunktion aus einem Produkt aus lauter ungeraden Zahlen und ist somit wiederum ungerade.

07.05.2011, 22:26

Matheversteher

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Bevor ich es vergesse...

das heißt dann natprlich, dass r(n²)=125 lösungen hat, weil es hier eine ungerade anzahl von teilern ist.
danke dir hal für die schnelle antwort. könntest du mir dann auch evtl noch bei dem rest helfen?

wenn ich bei r(m) bleibe (zweiter teil der aufgabe)

Zitat:

Zitat von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} m = (p_1)^1\cdot (p_2)^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_3)^3\cdot (p_4)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_5)^1\cdot (p_6)^1\cdot (p_7)^1\cdot (p_8)^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = (p_9)^{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{für} \ p_1\neq p_2 \neq...\neq p_9 \ \text {mit} \ m,p_a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

kann ich das dann so stehen lassen? oder wie soll ich m konkret darstellen?

07.05.2011, 22:33

HAL 9000

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Nochmal deutlich: Es gibt keine $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(m^2)=16 \end{eqnarray*}$ , damit ist die Menge der möglichen Werte für $\begin{eqnarray*} \tau(m) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \tau(m^3) \end{eqnarray*}$ natürlich leer.

Wenn DP1996 vom 2.Teil gesprochen hat, nehme ich an, er meint die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(n^2)=125 \end{eqnarray*}$ , da gibt es tatsächlich einiges an Fällen zu betrachten und zu rechnen. Aber das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kannst du nun langsam mal abhaken, das war entweder eine Fangfrage oder ein Verschreiber in der Aufgabenstellung!

07.05.2011, 22:37

Matheversteher

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uhhh wer lesen kann ist natürlich klar im vorteil, es geht ja immer um das selbe "m" hier. alles klar ich glaube es liegt an der uhrzeit...

werde mich dann mit dem zweiten teil ( r(n²) ) beschäftigen und dann die (hoffentlich richtige) lösung morgen posten.

wünsche euch beiden eine gute nacht und danke für die hilfe smile

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