Multiplikativ Inverses in algebraischer Form

07.05.2011, 22:49

alanb

Multiplikativ Inverses in algebraischer Form

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte ein wenig Hilfe bei der Verständis, ob ich soweit alles richtig mache:

Im Rahmen der Menge der komplexen Zahlen soll das multiplikativ Inverse von $\begin{eqnarray*} 3 + 4 \cdot i \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} a + b \cdot i \end{eqnarray*}$ (algebraische Form) dargestellt werden.

Meine Ideen:
Als erstes habe ich das multiplikativ Inverse von $\begin{eqnarray*} 3 + 4 \cdot i \end{eqnarray*}$ wie folgt ermittelt:

$\begin{eqnarray*} (a,b) \rightarrow (\frac{a}{a^2 + b^2},-\frac{b}{a^2 + b^2}) \end{eqnarray*}$

für die obige Aufgabe also:

$\begin{eqnarray*} (3,4) \rightarrow (\frac{3}{3^2 + 4^2},-\frac{4}{3^2 + 4^2}) \end{eqnarray*}$

Die Darstellung in algebraischer Form:

$\begin{eqnarray*} z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = a \cdot (1,0) + b \cdot (0,1) = a + b \cdot i \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} z = (\frac{3}{3^2 + 4^2},-\frac{4}{3^2 + 4^2}) = (\frac{3}{3^2 + 4^2},0) + (0,-\frac{4}{3^2 + 4^2}) = \frac{3}{3^2 + 4^2} \cdot (1,0) + (-\frac{4}{3^2 + 4^2}) \cdot (0,1) = a + b \cdot i \end{eqnarray*}$

Ich bin mir unsicher, ob ich bei dem multiplikativen Inversen alles richtig gemacht habe und ob ich richtig in die algebraische Form gewandelt habe. Für Tipps wäre ich wirklich sehr dankbar!

Viele Grüße

Alan

07.05.2011, 22:56

lgrizu

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RE: Multiplikativ Inverses in algebraischer Form
Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} (3+4i)^{-1}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i \end{eqnarray*}$ stimmt.

Ich find deinen Rechenweg allerdings recht umständlich:

Nach Rechenreglen im komplexen ist:

$\begin{eqnarray*} (3+4i) \cdot \frac{1}{3+4i}=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (3+4i)^{-1}=\frac{1}{3+4i} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{(3+4i) \cdot (3-4i)}=\frac{3-4i}{25} \end{eqnarray*}$ .

07.05.2011, 23:03

alanb

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RE: Multiplikativ Inverses in algebraischer Form

Zitat:

Original von lgrizu

Nun ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{(3+4i) \cdot (3-4i)}=\frac{3-4i}{25} \end{eqnarray*}$ .

Hallo Igrizu,

danke für deine sehr schnelle Antwort.

Sehe ich das richtig, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{(3+4i) \cdot (3-4i)}=\frac{3-4i}{25} \end{eqnarray*}$

die algebraische Form ist?

Viele Grüße

Alan

07.05.2011, 23:08

lgrizu

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RE: Multiplikativ Inverses in algebraischer Form

Zitat:

Original von alanb

Sehe ich das richtig, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{(3+4i) \cdot (3-4i)}=\frac{3-4i}{25} \end{eqnarray*}$

die algebraische Form ist?

Jap, so ist es.

Und das hast du hier doch bereits stehen:

Zitat:

Original von alanb

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{3^2 + 4^2} \cdot (1,0) + (-\frac{4}{3^2 + 4^2}) \cdot (0,1) \end{eqnarray*}$

07.05.2011, 23:16

alanb

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Hallo,

super ja das klingt logisch. Habe es eben noch einmal nachgerechnet. Danke, die Aufgabe hat sich ja soweit schnell erklären lassen :-)

Viele Grüße

Alan

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