Summenformel für n-te Potenz eines Elements einer Matrix

08.05.2011, 01:09

warkel

Summenformel für n-te Potenz eines Elements einer Matrix

Meine Frage:
ich hab folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = n\times n \end{eqnarray*}$

und möchte eine Formel die die n-te Potenz der Matrix für ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ errechnet.

Meine Ideen:
so sieht die Formel z.B. für die die zweite Potenz aus:

$\begin{eqnarray*} a_{ij} ^{(2)} = \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}*a_{kj} \end{eqnarray*}$

Wie ich noch individuell viele Produkte daran hängen kann weiß ich nicht smile

08.05.2011, 09:23

Leopold

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Wenn ich das richtig sehe, so gilt für $\begin{eqnarray*} a_{ij}^{(k)} \end{eqnarray*}$ , das Element in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte der Matrix $\begin{eqnarray*} A^k \end{eqnarray*}$ , die Formel:

$\begin{eqnarray*} a_{ij}^{(k)} = \sum a_{il_1} \cdot a_{l_1 l_2} \cdot a_{l_2 l_3} \cdots a_{l_{k-2} l_{k-1}} \cdot a_{l_{k-1} j} \end{eqnarray*}$

Zu summieren ist über alle $\begin{eqnarray*} l_1,l_2,\ldots,l_{k-1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Ob diese Formel allerdings zu irgendetwas zu gebrauchen ist, wage ich zu bezweifeln.

08.05.2011, 14:44

warkel

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ich dachte ich brauche die Formel hierfür:

Zitat:

Können Sie begründen, warum $\begin{eqnarray*} A^2, A^3 \end{eqnarray*}$ ,... die Wege der Länge 2,3,... enthält? [Hinweis: Schreiben Sie sich die (Summen-)Formel für ein Element $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ der Potenzmatrix $\begin{eqnarray*} P=A^{n} \end{eqnarray*}$ hin.]

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen.

Vielleicht weiß jemand besser als ich was zu tun ist? Augenzwinkern

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