Differentialgeom.: Raumkurve ermitteln mit Anfangswerten

08.05.2011, 11:03	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeom.: Raumkurve ermitteln mit Anfangswerten Hallo, es geht um Differentialgeometrie. Ich habe $\begin{eqnarray} \kappa(s)=\tau(s) \end{eqnarray}$ sowie die Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} \vec x(0), \vec t(0), \vec n(0) \end{eqnarray}$ explizit gegeben, dabei ist s der natürliche Parameter. Daraus soll nun die Raumkurve $\begin{eqnarray} \vec x(s) \end{eqnarray}$ ermittelt werden. Es steht auch eine Anleitung dazu: (a) Zeigen, dass der Darboux-Vektor $\begin{eqnarray} \vec \omega(s) \end{eqnarray}$ konstant ist. Hab ich gemacht. Einfach Formel aufgestellt, dann alles abgeleitet und entsprechende Größen mithilfe der Frenetschen Gleichungen ersetzt. Dann wird es Null. (b) (a) verwenden, um aus den Frenetschen Gleichungen eine DGL 2. Ordnung für $\begin{eqnarray} \vec t(s) \end{eqnarray}$ herzuleiten. Hier hapert es schon. Hätte im Angebot: Da $\begin{eqnarray} \vec t'(s)=\kappa \vec n(s) \end{eqnarray}$ ergibt sich die 2. Ableitung zu $\begin{eqnarray} \vec t ''(s)=\kappa \vec n '(s)=\kappa (\kappa \vec t(s)+\tau \vec b(s)) \end{eqnarray}$ (bei letzterem habe ich die Frenetschen Gleichungen benutzt) Dies ließe sich noch weiter umformen, ich weiß nicht, was am günstigsten zum Rechnen ist: $\begin{eqnarray} ...=\kappa^2 \vec t(s)+\kappa \tau \vec b(s)=\kappa^2(\vec t(s)+\vec b(s))=\kappa^2(\vec t(s)+\vec t(s) \times \vec n(s))=\kappa \vec \omega(s) \end{eqnarray}$ (in meinem Fall ist es so, da $\begin{eqnarray} \kappa(s)=\tau(s) \end{eqnarray}$ .) Ist das so richtig? Und nun muss die ja auch noch gelöst werden, das wäre (c). Aber wie? Dann folgt (d), durch Integration $\begin{eqnarray} \vec x(s) \end{eqnarray}$ bestimmen. Das würd ich dann vielleicht sogar selbst schaffen. Also helft mir bitte, beim Lösen (oder sogar schon Aufstellen) der DGL! Danke und schönen Sonntag!
09.05.2011, 09:48	miamaeuschen	Auf diesen Beitrag antworten »
wollte nur erwähnen, dass da ein vorzeichenfehler ist beim ersetzen von n'. 2 frenetsche gleichung. bin aber selbst noch nich weiter.

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