Aufgaben zur Differentialrechnung

08.05.2011, 11:47

ahmad_89

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Aufgaben zur Differentialrechnung

Meine Frage:
Ich hatte zwar Kurvendiskussion in der Schule gehabt, aber mit manchen Funktionen kann ich leider nichts anfangen, oder weiß nicht wie ich beginnen soll.

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen sie den größten und den kleinsten Wert der (reelen Funktion) y=f(x)=x(10-x)<--(IN DER WURZEL)im gesamten Definitionsbereich.

Meine Ideen:
Muss ich hier die Funktion ableiten (und wenn wie) und nachdem ich das ergebnis bekomme (es werden wahrscheinlich 2 sein) ist der niedrigste Wert dann der kleinte und der größte Wert der höchste?

08.05.2011, 11:50

lgrizu

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RE: Aufgaben zur Differentialrechnung
Steht der komplette Funktionsterm in der Wurzel, also $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x \cdot (10-x)} \end{eqnarray*}$ oder nur ein Summand, also $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot \sqrt{10-x} \end{eqnarray*}$ ?

Schreibe die Funktion ein wenig anders hin: $\begin{eqnarray*} \sqrt{f(x)}=(f(x))^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , und das kann man mit der Kettenregel wie gewohnt ableiten.

08.05.2011, 14:57

ahmad_89

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die ersten Funktion ist richtig! Wie leite ich die Funktion ab, ich hab bisschen Probleme mit der Kettenregelfunktion!?

Es wäre echt nett, wenn du mir bisschen dabei helfen würdest

08.05.2011, 15:04

ahmad_89

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Also sollte man es so hinschreiben ?:

f(x)= (x(10-x) 1/2 (hoch) wie solle ich jetzt mit der kettenregel vorrangehen??

08.05.2011, 15:38

lgrizu

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Genau, deine Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x \cdot (10-x)}=(x \cdot (10-x))^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Die Kettergel lautet in Worten: "innere Ableitung mal äußere Ableitung".

Welches ist deine innere Funktion, welches die äußere?

08.05.2011, 15:55

ahmad_89

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äußere
u= x(IN der wurzel)

u`=1/2 x -1/2

innere

v=10x -x²

v`=10-2x

Also ich hab als End-ergebnis das hier.

f`(x)= 1/2 (10x-x²) -1/2 *10-2x

Falls es richtig ist, wie geht es jetzt weiter?

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08.05.2011, 16:18

lgrizu

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Die äußere Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(y)=y^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=x \cdot (10-x) \end{eqnarray*}$ .

Nun bilde einmal y' und f'(y).

08.05.2011, 17:11

ahmad_89

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f(x)`=1/2 x -1/2

y`=10-2x
und welche Zaheln sind die äußeren, woher erkenne ich innere und äußere Zahlen

08.05.2011, 21:24

lgrizu

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y' ist richtig, aber was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ?

08.05.2011, 21:25

ahmad_89

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das hier f(x)`=1/2 x -1/2
ist das nicht richtig

08.05.2011, 21:29

lgrizu

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Nein, und ich frage mich auch, welche Ableitungsregel du anwendest.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} (x^b)'=b \cdot x^{b-1} \end{eqnarray*}$ .

Nun wende das einmal auf $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ an.

08.05.2011, 21:33

ahmad_89

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tut mir leid ich weis es nicht, ich dachte es wäre das: f(x)`=1/2 x -1/2<--hoch

08.05.2011, 21:44

lgrizu

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Ach so, wenn du $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ist das natürlich richtig, ich habe die ganze Zeit etwas anderes hineininterpretiert, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Du kannst auch gerne Latex benutzen, wenn du die Befehle nicht kennst, wir haben hier auch einen Formeleditor.

Also gut, wir haben, um zurück zur Aufgabe zu kommen:

$\begin{eqnarray*} f(y(x))=y(x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(x)=x \cdot (10-x) \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir die Ableitungen bestimmt:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=10-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(y)=\frac{1}{2} \cdot y^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot (x \cdot (10-x))^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun das ganze noch zuasammenbringen

08.05.2011, 21:55

ahmad_89

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f(x)=\frac{1}{2}(10-2x)x^{\frac{-1}{2} } das hier (aber ohne das "x" das vor -1/2 steht)

08.05.2011, 21:56

ahmad_89

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(10-2x)x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$ ohne das x was vor der -1/2 steht

08.05.2011, 21:59

lgrizu

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Zitat:

Original von lgrizu

Nun haben wir die Ableitungen bestimmt:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=10-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(y)=\frac{1}{2} \cdot y^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot (x \cdot (10-x))^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Hier steht doch im Prinzip schon alles, nur noch das Produkt bilden.

Du darfst nicht vergessen, dass wir unser y haben und das y wieder eine Funktion von x ist.

08.05.2011, 22:04

ahmad_89

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Ich verstehe noch nicht genau, wie du auf diese Funktion gekommen bist. Die Funktion sieht ja jetzt ganz anders aus, als die ich gebildet habe.

08.05.2011, 22:12

lgrizu

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Die Kettenregel besagt doch: $\begin{eqnarray*} (f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist unsere innere Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x \cdot (10-x) \end{eqnarray*}$ und unsere äußere Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun leiten wir das ab und bilden $\begin{eqnarray*} f'(g(x))=\frac{1}{2} \cdot g(x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x)=10-2x \end{eqnarray*}$ .

08.05.2011, 22:33

ahmad_89

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Ist das nichtig $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(10-2x)x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$ ist die funktion noch nicht vollständig

08.05.2011, 22:41

lgrizu

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Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst.
Du solltest dich wohl einmal etwas intensiver mit der Kettenregel beschäftigen.

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(x)^{\frac{1}{2}}=(10x-x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir $\begin{eqnarray*} g(x)=10x-x^2 \end{eqnarray*}$ , die Ableitung hast du ja richtig bestimmt, sie ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=10-2x \end{eqnarray*}$ .

Es ist noch folgende Ableitung zu bestimmen: $\begin{eqnarray*} f'(g(x)) \end{eqnarray*}$ .

Diese ist $\begin{eqnarray*} f'(g(x))=\frac{1}{2} \cdot g(x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun setzen wir hier $\begin{eqnarray*} g(x)=10x-x^2 \end{eqnarray*}$ ein und erhalten:

$\begin{eqnarray*} f'(g(x))=\frac{1}{2} \cdot g(x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot (10x-x^2)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun setzen wir das beides in die Kettenregel ein und erhalten:

$\begin{eqnarray*} (f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)=\frac{1}{2} \cdot (10x-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (10-2x) \end{eqnarray*}$ .

08.05.2011, 23:02

ahmad_89

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In der Schule hatte ich noch leider keine Kettenregel, darum fällt es mir schwer. Soll ich das Ergebniss jetzt zusammenfassen und dann die Funktion Null setzen und dann auf x auflösen.

08.05.2011, 23:23

lgrizu

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Viel mehr zusammen zu fassen gibt es nicht.
Aber die Ableitung =0 zu setzen ist schon mal eine gute Idee, vielleicht sollte man vorher noch den Definitionsbereich bestimmen.

Ich muss jetzt schlafen, schaue morgen aber noch einmal rein.

15.05.2011, 15:15

ahmad_89

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ok das reichte auch, den Rest habe ich dann gemacht, Vielen vielen Dank für die Unterstützung! smile

smile

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