Orthogonalisierung

08.05.2011, 12:40

Quicksortbubblesort

Orthogonalisierung

Hallo,

ich habe folgendes Skalarprodukt gegeben:

$\begin{eqnarray*} (p, q) := \int_{-1}^1 \! p(x) q(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Außerdem habe ich folgende Basis (zur Menge aller Polynome vom Grad n auf dem Intervall [-1, 1] => Legendre-Polynome) gegeben:

$\begin{eqnarray*} \{1, x, x^2, x^3\} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Orthogonalbasis. Ich soll daher eine Orthogonalbasis daraus machen mittels Gram-Schmidt. Mit dem Verfahren (steht auch bei Wikipedia) kriege ich 4 Vektoren raus, wobei einer davon allerdings der Nullvektor ist. Das hieße doch allerdings, dass ich jetzt eine 3-dimensionale Basis habe. Darf das denn sein? Darf die Dimension beim Orthogonalisieren reduziert werden? Oder habe ich mich da verrechnet? Meine neue (orthogonale) Basis:

$\begin{eqnarray*} \{1, 0, x^2-\frac{1}{3}, x^3\} \end{eqnarray*}$

verwirrt

08.05.2011, 12:42

kiste

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Nein das darf nicht sein, du hast dich verrechnet.

08.05.2011, 12:48

Quicksortbubblesort

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Zitat:

Original von kiste
Nein das darf nicht sein, du hast dich verrechnet.

Ich sehe nur nicht wo. Hier die Anleitung bei Wiki:

de.wikipedia.org/wiki/Gram- Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthogonalisierun
gsverfahrens

$\begin{eqnarray*} v_1 = w_1 \end{eqnarray*}$

Also in meinem Fall:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2 = w_2 - \frac{(v_1, w_2)}{(v_1, v_1)} v_1 \end{eqnarray*}$

Also in meinem Fall:

$\begin{eqnarray*} v_2 = x - \frac{\int_{-1}^1 \! 1x \, dx }{\int_{-1}^1 \! 1 \cdot 1 \, dx } 1 \end{eqnarray*}$

Nun, und das Integral im Zähler ist 0. verwirrt

08.05.2011, 12:50

Quicksortbubblesort

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Ups. Jetzt sehe ich's. $\begin{eqnarray*} x - 0 = x \end{eqnarray*}$ . MAAAN. Big Laugh

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