Faltung char. Funktion

08.05.2011, 13:53

Gast11022013

Faltung char. Funktion

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \chi=1_{[0,1]}:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie die Faltungen

(i) $\begin{eqnarray*} \chi * \chi \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} (\chi * \chi) * \chi \end{eqnarray*}$

Was stellen Sie bzgl. der Stetigkeit resp. Differenzierbarkeit fest?

Meine Ideen:
Zu (i):

$\begin{eqnarray*} (\chi*\chi)(y)=\int_{\mathbb R} \chi(x)\cdot \chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{\mathbb R} \chi(x) dx \int_{\mathbb R} \chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\int_0^1 \chi(x)dx}_{=1} \int_0^1 \chi(x-y)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 \chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = - \int_y^{y-1} \chi(t) dt, (t=y-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{y-1}^y \chi(t) dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = y \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2-y \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} 1\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ , sonst

Zu (ii):

$\begin{eqnarray*} ((\chi*\chi)*\chi)(y)=\int_{\mathbb R} (\chi*\chi)(x)\chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} \chi(z)\chi(x-z)dz \chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man nun dies? An dieser Stelle komme ich nicht weiter.

08.05.2011, 18:13

Leopold

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Mir ist nicht klar, wie du vorgehst. Mit welchem Recht schreibst du zu Anfang das Integral der Produktfunktion als Produkt von Integralen? verwirrt

Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} g(y) = \left( \chi * \chi \right)(y) = \begin{cases} 1 - \left| y-1 \right| & \mbox{für} \ 0 \leq y \leq 2 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man nun eine Stammfunktion angeben:

$\begin{eqnarray*} G(y) = \begin{cases} 0 & \mbox{für} \ y<0 \\ y - \frac{1}{2} (y-1) \left| y-1 \right| - \frac{1}{2} & \mbox{für} \ 0 \leq y \leq 2 \\ 1 & \mbox{für} \ y>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \left( (\chi * \chi) * \chi \right) (y) = \int_0^1 g(y-x)~\dd x = \int_{y-1}^y g(t)~\dd t = G(y) - G(y-1) \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 12:33

Gast11022013

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Zitat:

Original von Leopold
Mir ist nicht klar, wie du vorgehst. Mit welchem Recht schreibst du zu Anfang das Integral der Produktfunktion als Produkt von Integralen? verwirrt

Damit beziehst Du Dich auf folgende Stelle in (i) - oder?

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \chi(x)\chi(y-x)dx=\int_{\mathbb R} \chi(x) dx \int_{\mathbb R} \chi(y-x)dx \end{eqnarray*}$

Und das darf man so nicht machen - entnehme ich Deiner Bemerkung.

Ein blöder Fehler von mir.

Es gilt natürlich: $\begin{eqnarray*} \chi(x)\cdot \chi(y-x)=\chi_{x\cap y-x} \end{eqnarray*}$

Der Schnitt besteht nur aus x und deswegen muss y-x=x gelten, womit man auch nur mit $\begin{eqnarray*} \chi(y-x) \end{eqnarray*}$ rechnen kann. Korrekt?

Dann ist meine Rechnung ja zum Glück trotzdem korrekt (bis eben auf diesen blöden Fehler).

Zitat:

Darüber denke ich jetzt mal nach, danke.

Was kann man denn in (i) bzw. (ii) bzgl. der Stetigkeit (Differenzierbarkeit) feststellen?..
verwirrt

09.05.2011, 14:35

Leopold

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Ich verstehe deine Argumentation immer noch nicht. Man kann doch einfach so rechnen:

$\begin{eqnarray*} ( \chi * \chi)(y) = \int_{- \infty}^{\infty} \chi(y-x) \chi(x)~\dd x = \int_0^1 \chi(y-x)~\dd x \end{eqnarray*}$

und zwar, weil $\begin{eqnarray*} \chi(x) \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ verschwindet und innerhalb den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat.

Integralfunktionen

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^x f(t)~\dd t \end{eqnarray*}$

sind immer stetig und, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, sogar differenzierbar.

$\begin{eqnarray*} ( \chi * \chi )(y) = \int_{y-1}^y \chi(t)~\dd t = \int_0^{y} \chi(t)~\dd t - \int_0^{y-1} \chi(t)~\dd t \end{eqnarray*}$

Die Differenz stetiger Funktionen ist aber stetig, also ist auch $\begin{eqnarray*} \chi * \chi \end{eqnarray*}$ stetig.

Und ganz analog der nächste Schritt:

$\begin{eqnarray*} \left( ( \chi * \chi ) * \chi \right) (y) = \int_0^{y} ( \chi * \chi )(t)~\dd t - \int_0^{y-1} ( \chi * \chi )(t)~\dd t \end{eqnarray*}$

Man muß also nicht einmal die explizite Darstellung bestimmen, um hier Aussagen treffen zu können. Immerhin: die expliziten Berechnungen sollten bestätigen, was die Theorie vorhersagt.

09.05.2011, 14:51

Gast11022013

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Stimmt, das geht ja viel einfacher und logischer,

vielen lieben Dank!

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