Newtonpotential

08.05.2011, 16:19

Gast11022013

Newtonpotential

Meine Frage:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} N:\mathbb R^n\backslash \left\{0\right\}\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} N(x)=\begin{cases} \frac{1}{(2-n)\omega_n}\frac{1}{\Vert x\Vert ^{n-2}}, & \text{wenn }n\text{ ungleich 2,}\\ \frac{1}{2\pi}\ln \Vert x\Vert, & \text{wenn }n\text{ gleich 2.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

heißt Newton-Potential. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \omega_n=vol_{n-1}(S^{n-1}) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

(i) $\begin{eqnarray*} \nabla N(x)=\frac{1}{\omega_n}\frac{x}{\Vert x\Vert ^n} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \Delta N(x)=0 \forall x\neq 0 \end{eqnarray*}$

[Das heißt, N ist harmonisch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ . N wird auch Fundamentallösung des Laplace-Operators genannt.]

Meine Ideen:
Im Grunde ist es ja "einfach nur" Rechnen.

Aber irgendwie komme ich gerade damit nicht zurecht.

Zu (i):

$\begin{eqnarray*} \nabla N(x)=\begin{pmatrix} \partial_1 N(x) \\ \vdots \\ \partial_n N(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei Forster habe ich gelesen, dass hier keine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} n=2, n\neq 2 \end{eqnarray*}$ nötig ist (warum auch immer...).

Wenn ich jetzt mal trotzdem den Fall n=2 wähle:

$\begin{eqnarray*} \partial_1 N(x)=\partial_1 (\frac{1}{2\pi} \ln(\sqrt{x_1^2+\hdots +x_n^2})=\partial_1 (\frac{1}{2\pi} \ln([x_1^2+\hdots +x_n^2]^{\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$

Dann kommt doch für die erste Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{2\cdot (x_1^2+\hdots +x_n^2)\cdot \pi}=\frac{x_1}{2\cdot \Vert x\Vert ^2 \cdot \pi}=\frac{x_1}{n\cdot \Vert x\Vert ^n \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ , da ich ja 2=n gewählt hatte.

Für $\begin{eqnarray*} \partial_2 N(x) \end{eqnarray*}$ erhält man dann $\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{n\cdot \Vert x\Vert ^n \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

Und so weiter - bis $\begin{eqnarray*} \partial_n N(x) \end{eqnarray*}$ .

Das sind dann die Einträge des obigen Vektors.
Ich verstehe nicht, wie ich dabei auf den gewünschten Ausdruck komme.

Edit:

Okay, im Fall n=2, kommts ja hin!

$\begin{eqnarray*} \nabla N(x)=\frac{x_1}{2\pi \cdot \Vert x\Vert ^2}\cdot e_1+\hdots +\frac{x_n}{2\pi\cdot \Vert x\Vert ^2}\cdot e_n \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \omega_2=2\pi \end{eqnarray*}$ folgt natürlich, dass

$\begin{eqnarray*} \nabla N(x)=\frac{1}{\omega_2}\cdot \frac{x}{\Vert x\Vert ^2} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich noch $\begin{eqnarray*} n\neq 2 \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Da fällts mir schwer.

08.05.2011, 17:40

zweiundvierzig

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RE: Newtonpotential

Zitat:

Original von Dennis2010
Nun muss ich noch $\begin{eqnarray*} n\neq 2 \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Da fällts mir schwer.

Du kennst doch die Kettenregel.

08.05.2011, 17:48

Gast11022013

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RE: Newtonpotential
Ja, die kenne ich.

Aber wie kann ich die denn auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2-n)\omega_n}\frac{1}{\Vert x\Vert ^{n-2}} \end{eqnarray*}$ anwenden?

Ich glaube, ich bin gerade blind dafür... verwirrt

Edit:

Ich habe mit dem Taschenrechner (um mir erstmal ein Bild zu machen) gerechnet.

Er sagt:

$\begin{eqnarray*} \partial_1 N(x)=\frac{x_1\cdot (x_1^2+\hdots +x_n^2)^{\frac{-n}{2}}}{\omega_n} \end{eqnarray*}$

Da müsste ich nun irgendwie selbst drauf kommen.

08.05.2011, 18:06

zweiundvierzig

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RE: Newtonpotential
Naja, Du hast (bis auf Konstanten) $\begin{eqnarray*} \| x \|^{2 - n} =\left(\sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}\right)^{2 -n} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ abzuleiten. Wie in der Schule arbeitet man sich nach dem Schema "äußere Funktion; innere Funktion" voran.

Übrigens:

Zitat:

Original von Dennis2010
Bei Forster habe ich gelesen, dass hier keine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} n=2, n\neq 2 \end{eqnarray*}$ nötig ist (warum auch immer...).

~~Die Funktion ist doch in Abhängigkeit der Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ definiert. Natürlich muss man sich dann auch die Ableitungen erstmal getrennt angucken.~~

Lesen muss man können. Hammer

Edit:

Zitat:

Original von Dennis2010
Edit:

Ich habe mit dem Taschenrechner (um mir erstmal ein Bild zu machen) gerechnet.

Er sagt:

$\begin{eqnarray*} \partial_1 N(x)=\frac{x_1\cdot (x_1^2+\hdots +x_n^2)^{\frac{-n}{2}}}{\omega_n} \end{eqnarray*}$

Da müsste ich nun irgendwie selbst drauf kommen.

Dann weißt Du jetzt immerhin, dass die Aufgabe nicht falsch gestellt ist. Big Laugh

08.05.2011, 18:45

Gast11022013

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Ja, die Aufgabe ist schonmal korrekt.

Und per Hand hat sichs nun auch bestätigt.

Danke!

Nun fehlt dann noch (ii).

Aber darum kümmere ich mich später und poste es dann.

09.05.2011, 11:11

Gast11022013

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Zu (ii):

$\begin{eqnarray*} \Delta N(x)=div(\nabla N(x))=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 N(x)}{\partial^2 x_i} \end{eqnarray*}$

Ich betrachte erst wieder den Fall, dass n=2.

Was wäre nun zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 N(x)}{\partial^2 x_1} \end{eqnarray*}$ ?

Das bedeutet doch, dass ich obige partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{\omega_2\cdot \Vert x\Vert ^2} \end{eqnarray*}$ nochmals nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ableiten muss - oder?

Da bekomme ich dann einen relativ komplizierten Ausdruch heraus, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(x_2^2+\hdots +x_n^2)\cdot n}{(\Vert x\Vert ^2)\cdot \omega_2}+\frac{1-n}{\omega_2}\right) \cdot (x_1^2+x_2^2+\hdots +x_n^2)^{\frac{-n}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun n=2 einsetze und vereinfache, komme ich schlussendlich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 N(x)}{\partial^2 x_1}=\frac{-x_1^2+x_2^2+\hdots +x_n^2}{\Vert x\Vert ^4 \cdot \omega_2} \end{eqnarray*}$

Okay, dann erhalte ich analog:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 N(x)}{\partial^2 x_2}=\frac{-x_2^2+x_1^2+x_3^2+\hdots +x_n^2}{\Vert x\Vert ^4 \cdot \omega_2} \end{eqnarray*}$

.
.
.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 N(x)}{\partial^2 x_n}=\frac{-x_n^2+x_1^2+\hdots +x_{n-1}^2}{\Vert x\Vert ^4 \cdot \omega_2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aufsummiere, kommt 0 heraus, also stimmt die Behauptung schonmal für n=2.

Edit:

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich hier doch gar keine Fallunterscheidung machen muss, denn für beide Fälle ( $\begin{eqnarray*} n=2, n\neq 2 \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} \nabla N(x)=\frac{1}{\omega_n}\frac{x}{\Vert x\Vert ^n} \end{eqnarray*}$ , also müsste auch der Laplace-Operator identisch sein.

Korrekt?

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