Spektralnorm

08.05.2011, 16:28	Flügelflitzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralnorm Hallo ich habe eine Frage zu einem Beweis. Es ist $\begin{eqnarray} $A$ \end{eqnarray}$ eine symetrische, positiv definite Matrix, $\begin{eqnarray} D=diag(A) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ die untere Dreiecksmatrix von $\begin{eqnarray} $A$ \end{eqnarray}$ (ohne Diagonale) und sonst mit lauter Nullen. Für den Parameter $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} w \in (0,2) \end{eqnarray}$ . Es wird gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \\| \underbrace{I-w(D+wL)^{-1}A}_{M} \\|_M < 1 \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix ist und die Norm die Spektralnorm $\begin{eqnarray} \\| M \\|_M = \max\|\lambda(M)\| \end{eqnarray}$ , also der betragsgrößte EW. Meine Frage: Warum ist das denn überhaupt eine Norm? Denn wenn ich (im zwei x zweidimensionalen Fall) für M einerseits die Nullmatrix einsetzte und andererseits $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetze, kommt ja beide Male $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ heraus? (Im Widerspruch zum ersten Normaxiom) MfG
09.05.2011, 09:57	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich die Spektralnorm mal genau anschaut sieht man : $\begin{eqnarray} \\| M \\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(M^HM)} \end{eqnarray}$ Mit andern Worten, die Spektralnorm ist der größte Singulärwert von M und der ist genau dann 0, wenn alle Singulärwerte 0 sind.

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