nilpotenz, idempotenz, kyrlovräume

08.05.2011, 17:02	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
nilpotenz, idempotenz, kyrlovräume Hi Leute, habe folgende Aufgabe zu lösen: Sei $\begin{eqnarray} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,v\in K^n \end{eqnarray}$ . Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: i) A sei nilpotent mit Nilpotenzindex $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Dann gilt für die Krylovräume $\begin{eqnarray} K_k(A,x) = K_{k+m}(A,x) \forall m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . ii) A heißt idempotent, falls $\begin{eqnarray} A^2 = A \end{eqnarray}$ ist. Jede idempotente Matrix hat nur die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ und/oder $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ . iii) Für idempotente Matrizen A und zugehörigem Eigenvektor v gilt $\begin{eqnarray} K_1(A,v) = K_m(A, v) \forall m\in \mathbb N,m\in 2 \end{eqnarray}$ . also ich verstehe zwar größtenteils was es zu zeigen gilt, weiß allerdings nicht wie ich das angehen soll.
08.05.2011, 23:44	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Krylovraum ist definiert als $\begin{eqnarray} K_k(A,x)=\langle x,Ax,\ldots,A^{k-1}x\rangle \end{eqnarray}$ Zu i) Du hast nun zu beweisen oder wiederlegen, dass $\begin{eqnarray} K_k(A,x)=K_{k+m}(A,x)~\forall m\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist. Wie sieht denn $\begin{eqnarray} K_{k+m}(A,x) \end{eqnarray}$ aus? Zu ii) Hier kannst du den Beweis direkt ansetzen. Sei $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ein Eigenwert zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^2 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert zu $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ , was folgt daraus? Zu iii) muß ich selbst noch kurz überlegen. Melde mich dann, wenn mir was eingefallen ist. Ibn Batuta
09.05.2011, 12:51	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für deine hilfe! also zu i) angenommen m = 1, dann existiert im krylovraum $\begin{eqnarray} K_{k+m}(A,x) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} A^{k+1-1} = A^k \end{eqnarray}$ , welches aber kein element von $\begin{eqnarray} K_k(A,x) \end{eqnarray}$ ist. Daraus würde ja die Ungleichheit folgen, und die Aussage wäre widerlegt. zu ii) aus deinem ansatz folgt ja, dass ( $\begin{eqnarray} e = 0 \ und/oder = 1 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} e = e^2 \end{eqnarray}$ , woraus widerrum folgt, dass die charakteristischen polynome übereinstimmen (det(A-tE)=det(A²-tE)) und somit auch A = A² (?) iii) versuche ich jetzt auch nochmal

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