Beweis einer allgemeingültigen math. Aussage

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snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer allgemeingültigen math. Aussage
Meine Frage:
Guten Tag!

Meine Frage bezieht sich auf den Beweis des folgenden Satzes:

Für jede ungerade, natürliche Zahl ist ihr Quadrat minus 1 durch 8 teilbar.

Meine Ideen:
Dann komme ich auf folgende Gleichung (entschuldigt die undeutliche Zeichensetzung, ich arbeite daran!):

V n(ungerade)e N : es ex. ein y e N: (n² - 1)/8 = y

Durch WA:
Es gibt eine ungerade, natürliche Zahl, deren Quadrat -1, nicht durch 8 teilbar ist.
Wähle: n=1

Das Ergebnis der Division ist 0 und somit nicht in dem von mir gewählten Definitionsbereich, womit die WA gilt und die Behauptung falsch ist.
Mir ist klar, dass ich da einiges zusammengewürfelt habe und der Beweis nicht ganz folgerichtig ist.

Deshalb hoffe ich auf eure Hilfe zur Selbsthilfe smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ungerade Zahlen besitzen eine hübsche Darstellung. Ist eine Art Aussortierung aus den ganzen Zahlen. Wie sieht die aus?
 
 
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

n= 2k +1, damit habe ich bereits versucht einen Induktionsbeweis zu führen, das Vorhaben ist jedoch schnell gescheitert
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Induktion. Nun ersetze bitte dein n durch diesen Ausdruck. Wie sieht dann n²-1 aus?
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

.
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Verschrieben:

4k² + 4k

Und da die vier Teiler ist, muss auch die 8 Teiler sein?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir nun Teilbarkeit untersuchen, dann ist eine Summe ja eher ungeeignet. Schaut man sich den Term an, was fällt einem auf?
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die 4 ausklammern.

4 (k² + k) oder 4k (k+1)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

zu oben: 4 teilt 12, aber 8 teilt nicht 12.

zu unten: mir gefällt die zweite Variante besser. Warum? Denk an unsere erste Idee Zahlen aufzuteilen...
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wirds a bissal schwierig...

Also, die Aufteilung sollte in gerade und ungerade Zahlen erfolgen, verlangt sind die ungeraden.

Hier habe ich ein Produkt und eine Summe. Über das k kann ich nichts explizites sagen (durch Bespielrechnungen weiß ich, wie es sich entwickelt, das kann ich hier jedoch nicht verwenden).
Ich weiß aber, dass der Term gerade bleibt, wegen der 4 als Vorfaktor.


D.h. an diesem Punkt komme ich leider nicht weiter.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

4*k*(k+1)

Das ist ein Produkt. Was kann man über die einzelnen Faktoren sagen? Besonders wenn man sich dafür interessiert, ob das gesamte Produkt durch 8=4*2 teilbar ist... Idee!
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher ist es ein Produkt, da hätte ich in der 7ten aufpassen sollen, danke

1. Das Produkt muss ein Vielfaches von 8 sein

Ich kann gerade absolut keinen Zusammenhang zwischen den Faktoren herstellen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sicher ist es ein Produkt, da hätte ich in der 7ten aufpassen sollen, danke


Bitte? verwirrt

Zitat:
Deshalb hoffe ich auf eure Hilfe zur Selbsthilfe


Es ist nicht meine Schuld, wenn du den Wald vor lauten Bäumen nicht siehst.

4*k*(k+1) soll durch 4*2 teilbar sein.

Folglich sollte welches Produkt durch 2 teilbar sein?

Ausgangsidee war in gewissen Zahlentypen zu denken...

Zitat:
Ungerade Zahlen... Ist eine Art Aussortierung aus den ganzen Zahlen.....
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eben das Problem am geschriebenen Wort, es ließt sich anders, als es manchmal sollte.

Ich bin dir sehr für deine Hilfe dankbar und sehe wirklich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Deshalb des Summen - Problems.

Da ich meinen Beitrag nun erneut lese, kann sehen, dass es leicht missverstanden werden kann.
Bitte dies zu entschuldigen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Schwamm drüber. smileys benutzen.

Zitat:
4*k*(k+1) soll durch 4*2 teilbar sein.

Folglich sollte welches Produkt durch 2 teilbar sein?
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

4*2*3 , also aus jeder ungeraden Zahl Hammer
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe ein Beispiel. Bitte meine Frage genau beantworten, wir haben keine konkreten Zahlen:

Zitat:
4*k*(k+1) soll durch 4*2 teilbar sein.

Folglich sollte welches Produkt durch 2 teilbar sein?
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt der Einzelfaktoren k*(k+1)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. So und die haben nun ja mit k und k+1 eine besonders schöne Eigenschaft. Zumal wir nur in gewissen Zahlentypen denken...
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

k bezeichnet den Stellenwert der ungeraden Zahl

k+1 ihren Nachfolger

Und damit sind sie Teilerfremd
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stellenwert? Wir haben mit 2k+1 am Anfang ja mit eingeschlossen: k aus Z. Sowie den Denkvorgang in geraden und ungeraden Zahlen.

Wenn man sich mit diesem Blickwinkel die benachbarten Zahlen k und k+1 anschaut, was kann man dann immer sagen?
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

k gerade
k +1 ungerade

oder

k ungerade
k+1 gerade
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und dieses Ergebnis solltest du nun auf unsere Frage:

Zitat:
4*k*(k+1) soll durch 4*2 teilbar sein.

Folglich sollte welches Produkt durch 2 teilbar sein?


hin betrachten. Augenzwinkern
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zusammenfassend:

n=2k+1

Aufgabenstellung:

(n²-1)/8


Überlegung:

(2k+1)²-1 = 4k²+4k= 4k(k+1)

das gesamte Produkt muss durch 4*2=8 teilbar sein --> k*(k +1) muss durch zwei teilbar sein --> das Produkt muss gerade sein --> das gerade Vielfache von 4 ist immer durch 8 teilbar, da automatisch Vielfaches von 8 Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabenstellung

8 | n²-1 für n ungerade beliebig (*)

<=>

8 | (2k+1)²-1 für k aus N0 beliebig

<=>

8 | 4k(k+1) für k aus N0 beliebig

<=>

2 | k(k+1) für k aus N beliebig (**)

Das beweisen wir nun. Da k, k+1 aufeinander folgen ist eine von ihnen gerade (<=> durch 2 teilbar). Somit gilt (**) und damit auch (*), was zu zeigen war.

Die Schritte hatten wir nun ja schon. Mit ist wichtig, dass du | (teilt) schreibst und nicht einen Bruch.
snuffi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für deine Geduld und Zeit smile Ich erkenne die logischen Zusammenhänge bei solchen Aufgabenstellungen noch nicht sofort, aber das wird sicherlich noch.

Nochmal danke.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben alle mal angefangen. Das wird schon. Wink
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