Erwartungswert der geometrisch verteilten Erfolgswahrscheinlichkeit

08.05.2011, 19:28

hamlax

Erwartungswert der geometrisch verteilten Erfolgswahrscheinlichkeit

Hallo,

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = \frac{1-p}{p} \end{eqnarray*}$ gilt.

Soweit so gut ... nur irgendwo lungert ein fieser Fehler in meiner Lösung den ich nicht finde ...

$\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = \sum_{i=0}^\infty i\cdot p\cdot \left(1-p\right)^i = \sum_{i=0}^\infty i\cdot p\cdot \left(1-p\right)^{i-1}\cdot \left(1-p\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =p\cdot \left(1-p\right) \cdot \sum_{i=0}^\infty i\cdot \left(1-p\right)^{i-1} \end{eqnarray*}$

Die gegebene Summe ist die erste Ableitung der geometrischen Reihe, somit folgt für die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty i\cdot \left(1-p\right)^{i-1} = f'\left(1-p\right) = \left(\frac{1}{1-\left(1-p\right)}\right)'= \left(p^{-1}\right)'= \left(-p\right)^{-2} = -\frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

Das jetzt alles zusammengewürfelt ergibt:
$\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = -\frac{p\left(1-p\right)}{p^2} =-\frac{1-p}{p} \end{eqnarray*}$

Irgendwo steckt da ein Fehler ... oder warum ist das negativ ?? Es ist doch korrekt 1-p = q zu setzen für f(q) = 1/(1-q) und das dann abzuleiten oder ???

Besten Dank schonmal

08.05.2011, 19:56

Math1986

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RE: Erwartungswert der geometrisch verteilten Erfolgswahrscheinlichkeit
Du hast hier irgendwie die geometrische Reihe falsch abgeleitet:

Die geometrische Reihe lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Ihre Ableitung daher (Quotientenregel)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\frac{1}{\left(1-x\right)^2} \end{eqnarray*}$
Wenn du das auf deine Rechnung von oben anwendest dann kommst du auf den gesuchten Erwartungswert

Du musst zuerst ableiten bevor du das (1-p) da einsetzt, daher der Vorzeichendreher

08.05.2011, 19:57

hamlax

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Ok gut ... Warum dürfte ich nich erst 1-p einsetzen und dann ableiten ??

08.05.2011, 20:04

Math1986

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Zitat:

Original von hamlax
Warum dürfte ich nich erst 1-p einsetzen und dann ableiten ??

Weil du dann nicht mehr die geometrische Reihe hin der Summe hast

08.05.2011, 20:05

hamlax