Beweis: Jede Drehung in der Symmetriegruppe eines Frieses ist eine Halbdrehung |
| 08.05.2011, 19:55 | Dragonfly | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis: Jede Drehung in der Symmetriegruppe eines Frieses ist eine Halbdrehung Lerne gerade für meine Examensprüfung in Mathe, Teilgebiet Geometrie. Habe in meinem Skript einen Beweis stehen, der für mich einfach keinen Sinn macht...kennt jemand einen anderen Beweis oder kann jemand den Fehler ín meiner Mitschrift finden? Beweis mit meinem Gedankengang findet ihr unten... Meine Ideen: Sei rho eine Drehung um P und tao eine Translation. Betrachte phi=rho°tao°rho^-1. phi ist eine Translation (warum???wie beweise ich das?). phi (P)=rho°(tao(P))(wo kommt das rho auf einmal her? müsste nicht phi (P)= tao (P) gelten? Und müsste es sich hierbei nicht um ein anderes tao als das in der Gleichung oben handeln?) =rho°tao°rho^-1 (P) (wieso ist das dann wieder das gleiche wie oben??) Weil F ein Fries ist, gibt es k \in Z mit phi=tao^k (verstehe ich...) Nun ist | P phi (P) | =| P tao (P) | =| P tao^k (P) | (verstehe ich..) Es folgt k=1 oder k=-1 (Warum?) Abschließend folgt dann noch eine Fallunterscheidung für k=1 und k=-1, aus der hervorgeht, dass k=-1 sein muss, weil dann phi=tao^-1 ist und damit tao^-1 (P) = rho (tao(P)) (hier kann ich wieder nicht ganz folgen..nehme an, dass ich das aber verstehe, sobald der obere Teil Sinn macht...) Daraus folgt dann, dass rho eine Drehung um P ist, die tao(P) auf tao^-1 (p) abbildet. Damit ist rho eine Halbdrehung um P (verstehe ich wieder ;-) ) |
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