Gerade schneidet Parabel immer im selben Punkt

08.05.2011, 20:36

Sunja

Gerade schneidet Parabel immer im selben Punkt

Hy
Ich habe eine Aufgabe wo ich nicht weiterkomme, bzw wo ich kaum einen Ansatz finde:
Ich habe eine Funktion gegeben f(x)=1-x^2 und eine Gerade mit gr(x)=(1-r)x+(1-r).
0<r<1

Nun soll man zeigen, dass jede Gerade gr die Parabel f im Punkt S(r/1-r^2) schneidet:

Ich dachte man müsste f und gr gleichsetzen und bei f(x) das r von dem Punkt einsetzten und nach x auflösen, aber ich weiß nicht ob das richtig ist. Ich komm da nicht weiter.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen smile

08.05.2011, 20:47

Helferlein

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Ist der Punkt vorgegeben? Wenn ja, dann setzte einfach x=r in die Geradenschar ein.

Wenn nicht, dann stimmt das Verfahren, das Du vorgeschlagen hast.

$\begin{eqnarray*} 1-x^2=(1-r)x+(1-r) \Leftrightarrow 0=x²+(1-r)x-r \end{eqnarray*}$

und dann pq-Formel oder Satz von Vieta anwenden.

09.05.2011, 19:36

Sunja

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Gut aber nun komme ich nicht weiter.
x1/2 = - (1-r)/2 +- wurzel ((1-r/2)^2+r

aber wie kann ich nun weiter machen? wie soll man rechnen?

lg

09.05.2011, 20:30

Helferlein

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Zweite binomische Formel sagt Dir hoffentlich etwas.
Danach kannst Du den Term unter der Wurzel geeignet zusammenfassen und erleichtern.

09.05.2011, 20:36

Sunja

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dann steht unter der wurzel: 1/4 - r+r^2

aber wie bekomme ich denn die wurzel weg, wenn da ne variable steht ?

09.05.2011, 20:57

Helferlein

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Versuch mal daraus eine binomische Formel zu machen

09.05.2011, 21:06

Sunja

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(1-r/2)^2+r -->

1/2 - r/2

1/4 - r + r/4+r

1/4 +r/4
=====

Das ist die formel unter der wurzel (zusammengefasst)

09.05.2011, 21:13

Helferlein

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Das ist falsch und zudem schwer nachzuvollziehen.

$\begin{eqnarray*} (\frac{1-r}2)^2+r = (\frac 12)^2-2\cdot \frac 12 \cdot \frac r2+(\frac r2) ^2+r=(\frac 12)^2-\frac r2+(\frac r2) ^2+r \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 21:36

Sunja

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Huch stimmt, aber wie bekommt man die wurzel nun weg ? unglücklich

Wenn alles zum Quadrat wäre, dann könnte man die Wurzel leicht entfernen, aber so kann sie nicht einfach weggenommen werden.
Wenn man es zusammenzieht stört noch die r/2

09.05.2011, 21:41

Helferlein

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Die rechte Seite kommt dir nicht bekannt vor?
Besonders mit dem vorhin gegebenen Tip

Zitat:

Versuch mal daraus eine binomische Formel zu machen

09.05.2011, 21:52

sunja

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achso, also kommt unter der wurzel (1/2+r/2)^2
also : (1/2+r/2) + (1/2 + r/2) ---> - ((1-r)/2)

dann kommt da 1+r raus, aber muss da nicht nur r rauskommen?

09.05.2011, 21:55

Helferlein

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Tut's auch, wenn du den ersten Summanden richtig hingeschrieben hättest Augenzwinkern