Explizite Darstelltung einer rekursiven Folge

08.05.2011, 23:14	Wilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Explizite Darstelltung einer rekursiven Folge Hi, ich will folgende Folge in expliziter Form darstellen: $\begin{eqnarray} c_{1}:=\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{n}:=\frac{c_{n-1}}{1-\frac{4}{(n+1)^{2}}} \end{eqnarray}$ Rechne schon recht lange rum, aber komme auf keine stimmige Behauptung, welche ich per vollständiger Induktion beweisen könnte.
08.05.2011, 23:35	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also worauf es hinausläuft, ist ja einen geschlossenen Ausdruck für: $\begin{eqnarray} \prod_{k=2}^n \frac{1}{1-\frac{4}{(n+1)^2}} = \prod_{k=2}^n \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2-4} \end{eqnarray}$ zu finden. Spontan sehe ich auch nicht, wie man das sofort sieht, aber Wolframalpha gibt jedenfalls folgendes Ausdruck: Klick Vielleicht hilft Dir das ja schonmal weiter, falls Du es heute Abend noch fertigbekommen musst. Aber vielleicht hat ja noch jemand anderes einen konstruktiven Vorschlag, um den Zusammenhang zu finden.
09.05.2011, 07:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für hinreichend große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \prod_{k=2}^n \frac{(k+1)^2}{(k+1)^2 - 4} = \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k-1} \cdot \frac{k+1}{k+3} = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)} \end{eqnarray}$ Stichwort: Teleskop-Produkt
09.05.2011, 21:19	Wilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe. Ja, musste es heute Morgen abgeben

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