Umkehrfunktion. 2x=2^y auflösen. Ich habe 2 Lösungen?!

09.05.2011, 00:50

Desh

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Umkehrfunktion. 2x=2^y auflösen. Ich habe 2 Lösungen?!

Meine Frage:
Ich habe zwei Funktionsterme:
1. f(x)=0,5*2^
2. g(x)=-3*2^-2x

Jetzt muss ich davon die Umkehrfunktion berechnen.

Meine Ideen:
Zu f(x):
gesucht ist: f^-1(x), also die Umkehrfunktion

y=0,5*2^x |Variablen vertauschen und nach y auflösen
x=0,5*2^y |/0,5
2x=2^y

Jetzt kommt der Haken, ich bin so vorgegangen:

2x=2^y |log
log(2x)=log(2^y)
=> log(2x)=y bzw. y=log(2x)
somit wäre f^-1(x)=log(2x)

durch irgendeine komische Rechnung die ich nicht mehr nachvollziehen kann, bin ich aber auch mal auf das Ergebnis:
y=log(x)/log(2) gestoßen.

Welches Ergebnis davon ist denn nun korrekt? Bzw ist überhaupt eins korrekt? Wenn es das zweite ist, könnte mir einer das nochmal Erläutern? =D Ich komme nicht mehr auf den Gedankenschritt den ich da gemacht habe.

zu g(x) habe ich:

gesucht: g^-1(x)
y=-3*2^-2x |Variblen tauschen und nach y auflösen
x=-3*2^-2y |/(-3)
-x/3=2^-2y |log
log(-x/3)=log(2)*(-2y)
=>-log(-3x)=log(2)*(-2y)
=>log(-3x)=log(2)*2y
=>log(-3x)=log(4)*y |/log(4)
y=log(-3x)/log(4) |vereinfachen mit log zur Basis 2
=>y=log(-3x/2)
g^-1(x)=log(-3x/2)

stimmt das so?

Liebe Grüße
Ferdi

09.05.2011, 01:39

Mathe-Maus

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RE: Umkehrfunktion. 2x=2^y auflösen. Ich habe 2 Lösungen?!
Hallo Ferdi, schauen wir uns doch zuerst $\begin{eqnarray*} f(x)=0,5 \cdot 2^{x} \end{eqnarray*}$ an.

Bis $\begin{eqnarray*} log(2x) = log 2^{y} \end{eqnarray*}$ alles bestens!

Wenn Du in Deine Formelsammlung schaust, findest Du unter dem Punkt LOGARITHMEN folgendes Logarithmengesetz:

$\begin{eqnarray*} log_{a}u^{r} = r \cdot log_{a}u \end{eqnarray*}$

Forme den rechten Term (mit y) dementsprechend doch mal um ...

LG Mathe-Maus

09.05.2011, 12:51

Desh

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das hieße dann:
log(2x)=y*log(2) |/log(2)
=>y=log(2x)/log(2)

right?
vielen Dank schonmal.
Was ist mit g^-1(x)?

09.05.2011, 14:55

Mathe-Maus

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Die Umkehrfunktion von f(x) ist richtig. (Man könnte jedoch noch weiter vereinfachen, indem man log(2x) aufdröselt ...)

Bei g(x) ist es bis log(-x/3)=(-2y)*log(2) richtig. Setze hier auf und rechne nochmal.

Ich empfehle Dir, in der Formelsammlung die Logarithmengesetze aufzuschlagen und noch ein bissl darin zu stöbern ...

LG Mathe-Maus

09.05.2011, 23:44

Desh

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erstmal zu f^-1(x)

du meinst weiter verinfachen indem:

y=log(2x)/log(2)
=> y=log(2)*log(x)/log(2) |kürzen
=> y=log(x)

richtig?

Nun zu g(x):
log(-x/3)=(-2y)*log(2)

ich habe mir mal die formelsammlung angeguckt werde aber immernoch nicht ganz klug daraus.

meine nächste variante wäre:

log(x)+log(3)=(-2y)*log(2) |/log(2)
log(x)+log(3)-log(2)=-2y |/(-2)
y=log(x)+log(3)-log(2)/-2

ich komme auf log(x)+log(3) weil da ja ein negatives vorzeichen war. dazu habe ich leider nichts gefunden.

10.05.2011, 01:06

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Desh
erstmal zu f^-1(x): du meinst weiter verinfachen indem:

y=log(2x)/log(2)
=> y=log(2)*log(x)/log(2)

richtig?

Leider NICHT richtig. unglücklich

unglücklich

Die Logarithmengesetze sagen:

$\begin{eqnarray*} log_{a}(u \cdot v) = log_{a}u + log_{a}v \end{eqnarray*}$

Löse log(2x) danach auf !

Also ist $\begin{eqnarray*} y= \frac{log(2x)}{log2} = ... \end{eqnarray*}$

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10.05.2011, 03:07

Desh

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d.h.
y=log(2)+log(x)/log(2) |kürzen
y=log(x)

jetzt aber? unglücklich

unglücklich

ich nehme an g^-1(x) ist auch wieder quark? -.-'

vielen dank bis hier hin schonmal für die fleißige hilfe. smile

smile

10.05.2011, 21:26

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Desh
y=log(2)+log(x)/log(2) |kürzen

Bis dahin fast richtig - es fehlen die passenden Klammern: y=( log(2)+log(x) ) / log(2)
bzw.

$\begin{eqnarray*} y=\frac{log2 + logx}{log2} \end{eqnarray*}$

Da man aus Summen nicht kürzen darf, muss man noch umformen zu:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{log2}{log2} + \frac{logx}{log2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du den linken Term kürzen ...

Hinweis:
Du MUSST diese Umformungen und das Kürzen nicht unbedingt machen, aber es hilft ungemein, sich mit den Logarithmengesetzen vertraut zu machen und man lernt sehr viel dabei !

Wenn das Kürzen erledigt ist, wenden wir uns dem nächsten Logarithmengesetz zu:

$\begin{eqnarray*} log_{a} \frac{u}{v} = log_{a}u - log_{a}v \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du den rechten Term (Bruch) auch noch aufdröseln ...
Versuche es mal !

LG Mathe-Maus Wink

Wink

PS: Jepp, die andere Funktion ist auch ein wenig quarkig, aber gehen wir erstmal eine durch, dann kannst Du die nächste sicher auch lösen.

10.05.2011, 21:33

Desh

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y=log(x)-log(2)

und sind wir damit dann am ende? denn ich bin langsam am ende...mit den nerven =D

10.05.2011, 21:39

Desh

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aber inwiefern darf ich da jetzt klammern einfach weglassen bzw dazu schreiben? wenn ich mir den graphen zeichnen lasse online und die klammer nach log weglasse um die zahl herum, dann bekomme ich eine gerade.

und deshalb müssen in dem fall wieder die klammern jetzt dran, da es sich bei dem funktionsterm ja nicht um eine gerade handelt.

10.05.2011, 21:46

Mathe-Maus

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Hallo Ferdi, ich glaube, dass es für Dich schwer ist ... aber ich versichere Dir, wenn man sich einmal durch Logaritmengesetze durchgearbeitet hat,
dann sind die kommenden Aufgaben (fast) ein Kinderspiel !

Du bist aber schon einen entscheidenden Schritt weiter!

Wir haben jetzt:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{log2}{log2} + \frac{logx}{log2} = 1 + \frac{logx}{log2}= 1+ logx - log2 = 1 + logx -0,3 = ...<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 21:48

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Desh
aber inwiefern darf ich da jetzt klammern einfach weglassen bzw dazu schreiben? wenn ich mir den graphen zeichnen lasse online und die klammer nach log weglasse um die zahl herum, dann bekomme ich eine gerade.

Die Klammern im log benötigt man nicht unbedingt: log(2) = log2.

Aber die grünen Klammern um die Summe, die sind wichtig, wenn man nicht den Formeleditor benutzt !

10.05.2011, 22:04

Desh

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d.h. also:

y=0,7+log(x)

und damit wären wir dann am ende? =D

und dann fängt der ganze spaß gleich für g^-1 an. super! -.- =D

10.05.2011, 22:08

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Desh
aber inwiefern darf ich da jetzt klammern einfach weglassen bzw dazu schreiben? wenn ich mir den graphen zeichnen lasse online und die klammer nach log weglasse um die zahl herum, dann bekomme ich eine gerade.

Eine Logaritmusfunktion ergint KEINE Gerade !
Setze mal in den Funktionsplotter y=(log(x)) + 0,7 ein, dann siehst Dur das richtige Ergebnis !
Es ist eine Logarithmusfunktion, die um 0,7 Einheiten nach oben verschoben ist !

LG Mathe-Maus Wink

Wink

10.05.2011, 22:21

Desh

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jupp, hab doch eben das richtige ergebnis hingeschrieben oder müssen die beiden klammern noch darum?

10.05.2011, 22:24

Desh

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soweit so gut!
eine ableitung geschafft.
nun zu g^-1(x) ? =D

10.05.2011, 22:25

Mathe-Maus

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Auf dem Blatt Papier kannst Du die Klammern um das x weglassen.
Für den Funktionsplotter müssen die Klamern drum sein.

Kleiner Hinweis:
(log x) + 0,7 ist nicht log x + 0,7 ! Im letzteren Fall könnte man denken, es soll log (x+0,7) gerechnet werden und das ist so nicht gewollt!

Nachfrage: Hast Du im Funktionsplotter jetzt eine Logarithmusfunktion - also keine Gerade ?

10.05.2011, 22:31

Mathe-Maus

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gesucht: g^-1(x)
y=-3*2^-2x |Variblen tauschen und nach y auflösen
x=-3*2^-2y |/(-3)
-x/3=2^-2y |log

Bis dahin richtig ! Freude

Freude

10.05.2011, 23:28

Desh

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was spricht gegen
log(-x/3)=-2y*log(2) ?

10.05.2011, 23:32

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Desh
was spricht gegen
log(-x/3)=-2y*log(2) ?

Passt!

Freude

10.05.2011, 23:42

Desh

Auf diesen Beitrag antworten »

log(-x/3)=-2y*log(2)

wird dann zu.
version 1:

log(x)+log(3)=-2y*log(2) |/log(2)
log(x)+log(3)/log(2)=-2y

version 2:

(log(-x/3)-log(2))/-2=y

11.05.2011, 00:26

Mathe-Maus

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Gaaanz langsam:

log(-x/3)=-2y*log(2)

anders geschrieben:
$\begin{eqnarray*} log(-1) \cdot \frac{x}{3}= -2y \cdot log(2) \end{eqnarray*}$

Das Minus vor die 3 gezogen:
$\begin{eqnarray*} log \frac{x}{-3}= -2y \cdot log(2) \end{eqnarray*}$

Jetzt den Bruch trennen entsprechend den Logarithmengesetzen:
$\begin{eqnarray*} log(x) - log (-3) = -2y \cdot log(2) \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du gerne durch log(2) dividieren!
$\begin{eqnarray*} \frac{log(x) - log (-3)} {log(2)} = -2y \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 00:43

Desh

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log(x)-log(-3)-log(2)=-2y

=> y=log(x)-log(-3)-log(2)/-2

11.05.2011, 00:45

Desh

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bzw:

(log(x)-log(-3))-log(2)/-2=y

so?

11.05.2011, 01:25

Mathe-Maus

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Wenn Du den Formeleditor benutzen würdest, wäre es echt einfacher ...

Also, wir waren bei bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{log(x) - log (-3)} {log(2)} = -2y \end{eqnarray*}$

Dividiert durch -2 ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{log(x) - log (-3)} {-2 \cdot log(2)} = y \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 01:37

Mathe-Maus

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Jetzt trennen:
$\begin{eqnarray*} \frac{log(x) - log (-3)} {-2 \cdot log(2)} = \frac{log(x)}{(-2)\cdot log(2)} - \frac{log(-3)} {(-2) \cdot log(2)} = \frac{log(x)}{-0,602} - \frac{0,477}{-0,602} = y \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 15:11

Desh

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was ich nicht verstehe ist:

wenn:
log(u/v)=log(u)-log(v) ist.

warum ist dann nicht:

log(x)-log(-3)/log(2)=(log(x)-log(-3))-log(2)

11.05.2011, 18:33

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Desh
log(u/v)=log(u)-log(v)

Das hast Du Dir prima gemerkt ! Freude

Freude

Zitat:

Original von Desh
was ich nicht verstehe ist: wenn: log(u/v)=log(u)-log(v) ist.
warum ist dann nicht:

log(x)-log(-3)/log(2)=(log(x)-log(-3))-log(2)

WEIL log(x)-log(-3) über dem Bruchstrich stehe und eine Differenz ist.

Sprichwort: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die D.....!

Anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{b} \end{eqnarray*}$

Auch hier könntest Du b nicht einfach kürzen, da es in einer Summe a+b über dem Bruchstrich steht.

Erinnerst Du Dich noch daran ?

LG Mathe-Maus Wink

Wink

11.05.2011, 19:31

Desh

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haha

Big Laugh

immerhin ein kleines lob kassiert Big Laugh

Big Laugh

ich erinner mich wage daran, ist schon lange her Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber jetzt ist es wieder im kopf. merci :]

11.05.2011, 20:14

Mathe-Maus

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Jetzt ein klein wenig weiter zum Auflösen des Bruchs:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1 \end{eqnarray*}$

Genauso hatte ich die Formel mit den logs aufgelöst.
Ich hoffe, Du kannst das jetzt nachvollziehen.

Es könnte durchaus sein, dass Dein Lehrer bereits mit

$\begin{eqnarray*} \frac{log(x) - log (-3)} {-2 \cdot log(2)} = y \end{eqnarray*}$

zufrieden wäre. Kann aber nicht schaden, wenn Du auch weisst, wie man das
bis zum bitteren Ende aufdröseln kann.

Lg Mathe-Maus Wink

Wink

11.05.2011, 20:29

Desh

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super super, vielen dank!! smile

smile

) hab's nachvollziehen können. wie lange das jetzt in meinem kopf bleibt ist eine andere Sache Big Laugh

Big Laugh

funktionseditor: sry, habe die meisten beiträge vom handy geschickt.

11.05.2011, 20:48

Mathe-Maus

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Es freut mich, dass sich der Aufwand gelohnt hat. Tanzen

Tanzen

Großes Lob auch an Dich, Du warst zäh und hast nicht aufgegen ! Freude

Freude

Lg Mathe-Maus

12.05.2011, 12:13

Desh

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und ich gebe immernoch nicht auf.
ich sollte nämlich auch die funktion zeihnerisch in die umkehrfunktion bringen.

soweit ich weiß bestimmt man die umkehrfunktion durch das spiegeln der funktion an der winkelhalbierenden.
wenn ich das tue, schneiden sich aber f(x) und f^-1(x).
im funktionsplotter eingegeben nicht, aber auf dem blatt papier ja.
die winkelhalbierende geht durch den ersten und dritten quadranten vom koordinatensystem und geht durch den nullpunkt.

ist nun unsere rechnung falsch oder ist mein zeichnerischer ansatz falsch? oO?

12.05.2011, 12:22

Desh

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das selbe gilt für g^-1(x)

wenn ich den im plotter anzeigen lassen will erscheint erst gar kein graph da wo er hin soll. hier stimmt doch auch etwas nicht unglücklich

unglücklich

-.-'

12.05.2011, 14:58

Desh

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also ich bin jetzt nochmal schritt für schritt f^-1(x) durchgegangen.

bis zum schritt: $\begin{eqnarray*} y=1+\frac{Log(x)}{log(2)}) \end{eqnarray*}$

ist alles richtig.

danach ist alles falsch.

bei g^-1(x) weiß ich's noch nicht.

12.05.2011, 15:31

Desh

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also g^-1(x) ist bis $\begin{eqnarray*} log(-\frac{x}{3})=-2y*log(2) \end{eqnarray*}$ richtig.

danach ist es falsch.
weiterhin richtig ist es so:

$\begin{eqnarray*} \frac{log(-\frac{x}{3})}{log(2)}=-2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{log(-\frac{x}{3})}{-2*log(2)}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{log(-x)-log(3)}{-2*log(2)}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{log(-x)}{-2*log(2)}-\frac{log(3)}{-2*log(2)}=y \end{eqnarray*}$

und das war's. weiter geht's nicht.

also waren deine schritte wohl oder übel teilweise auch nicht richtig. =/

aber trotzdem danke für die hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

=)

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