Produkt Nachkommastellengenauigkeit

09.05.2011, 03:22	HomeEdition	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt Nachkommastellengenauigkeit Hallo, zwei reelle Zahlen sollen multipliziert werden. Wenn die Nachkommastellen des Produktes bis auf z.B. 2 Stellen genau sein sollen, wie viele Nachkommastellen brauche dafür bei den Faktoren? Beispiel: Die eulersche Zahl e = 2,71828183... wird nach n Nachkommastellen abgeschnitten (nicht gerundet). Sei e[n] die n-te Abschneidung. Bsp: e[4]=2,7182 (nicht 2,7183 gerundet), e[2]=2,71 Wie groß muss dieses n sein, damit von e² die ersten k Nachkommastellen ( gemeint ist e²[k] )stimmen? Ich weiß: Für das Produkt e²[n] brauche ich zwei zusätzliche Nachkommastellen bei den Faktoren, also e[n+2]. Wie zeigt man das für alle reellen Zahlen in allgemeingültiger Form?
09.05.2011, 05:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn e* das geschnittene e ist, dann beträgt der durchschnittliche Fehler für e* $\begin{eqnarray} \Delta f=5\cdot 10^{-n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^+\Delta f)^2\approx ({e^})^2 +2\cdot e^\Delta f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e \approx 3 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} (e^+\Delta f)^2\approx ({e^})^2 +2\cdot 3 \Delta f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^+\Delta f)^2\approx ({e^})^2 +6 \Delta f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^+\Delta f)^2\approx ({e^})^2 +6\cdot 5\cdot 10^{-n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^+\Delta f)^2\approx ({e^})^2 +30 \cdot 10^{-n-1} \end{eqnarray}$ d.h. der Fehler des Quadrates liegt im Schnitt bei $\begin{eqnarray} 3 \cdot 10^{-n} \end{eqnarray}$ oder: wenn du nach n Stellen schneidest ist das Quadrat durchschnittlich auf ca. 1/3 der vorigen* Stelle genau.

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