Kolmogoroff-Kriterium

09.05.2011, 11:01

Approxer

Kolmogoroff-Kriterium

Kolmogorov-Kriterium

Bestapproximation in C(K), K kompakt, $ M\subseteq C(K) $, abgeschlossen.
Zu $ f\in C(K), s \in M $ setze $ A_0 $ die Extremalmenge der Fehlerfunktion $ f-s $.

Dann sind äquivalent:

i)s ist Proximum an f
ii) $ \max_{x \in A_0} (f(x)-s(x))\cdot{}t(x) \geq 0, \forall t \in M $

Meine Frage ist jetzt: Was genau will mir die das Kriterium sagen?
Ich lese es so: Es gibt mind. ein $ t \in M $, so dass das Kriterium erfüllt ist, also einen Extremalpunkt, in dem die Fehlerfunktion und t im Vorzeichen übereinstimmen. (Im Fall =0, wäre ja kein Fehler oder t=Nullfunktion.)
Warum folgt daraus dann, dass s das Proximum ist?

Frage 2: Wenn t in ALLEN Punkten x im Vorzeichen übereinstimmt, wäre das Kriterium mnach meiner Interpretation auch erfüllt, aber bei uns im Skript steht das Gegenteil. Kann man sich ja auch überlegen: Wenn die Extremalmenge n+2 Punkte enthält, würde dann folgen mein $t(x)$ hätte n+1 Nullstellen, könnte also nicht aus der Menge $M=P_n§ stammen.
Ergo kann meine Interpretation nicht stimmen...bitte helft mir, was denke ich falsch?

Den Beweis versteh ich von der technischen Seite, allerdings komme ich damit auch dem Problem nicht näher.

Vielen Dank schonmal fürs beantworten

09.05.2011, 23:05

Approxer

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RE: Kolmogoroff-Kriterium
Hi, soll kein Pusher sein, mr ist nur aufgefallen, dass ich die Formel in keine Latex Umgebung eingebunden habe, sorry. So kann mans besser lesen und hoffentlich antwortet jetzt einer!?

Zitat:

Original von Approxer
Kolmogorov-Kriterium

Bestapproximation in C(K), K kompakt, $\begin{eqnarray*} $ M\subseteq C(K) $ \end{eqnarray*}$ , abgeschlossen.
Zu $\begin{eqnarray*} $ f\in C(K), s \in M $ \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} $ A_0 $ \end{eqnarray*}$ die Extremalmenge der Fehlerfunktion $\begin{eqnarray*} $ f-s $ \end{eqnarray*}$ .

Dann sind äquivalent:

i)s ist Proximum an f
ii) $\begin{eqnarray*} $ \max_{x \in A_0} (f(x)-s(x))\cdot{}t(x) \geq 0, \forall t \in M $ \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt: Was genau will mir die das Kriterium sagen?
Ich lese es so: Es gibt mind. ein $ t \in M $, so dass das Kriterium erfüllt ist, also einen Extremalpunkt, in dem die Fehlerfunktion und t im Vorzeichen übereinstimmen. (Im Fall =0, wäre ja kein Fehler oder t=Nullfunktion.)
Warum folgt daraus dann, dass s das Proximum ist?

Frage 2: Wenn t in ALLEN Punkten x im Vorzeichen übereinstimmt, wäre das Kriterium mnach meiner Interpretation auch erfüllt, aber bei uns im Skript steht das Gegenteil. Kann man sich ja auch überlegen: Wenn die Extremalmenge n+2 Punkte enthält, würde dann folgen mein $t(x)$ hätte n+1 Nullstellen, könnte also nicht aus der Menge $M=P_n§ stammen.
Ergo kann meine Interpretation nicht stimmen...bitte helft mir, was denke ich falsch?

Den Beweis versteh ich von der technischen Seite, allerdings komme ich damit auch dem Problem nicht näher.

Vielen Dank schonmal fürs beantworten

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