Lineare Abhängigkeit von Vektoren

09.05.2011, 11:12

dreikommadrei

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1} } ,...,\vec{v_{n} } \ mit\ n>1 \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer dieser Vektoren sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Meine Lösung:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{v_{3}} \end{eqnarray*}$ eine linearkombination aus $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1} } \ und\ \vec{v_{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{v_{3} } =a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} \ mit\ a,b\in \mathbb \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Lambda_{1},...,\Lambda_{n}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1} } ,...,\vec{v_{n} } \ mit\ n>1 \end{eqnarray*}$ sind Linear Abhängig

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} \Lambda_{1} \neq 0\ und\ \Lambda_{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}v_{3}+...+\Lambda_{n}v_{n}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \Lambda_{4}=\Lambda_{5}=...=\Lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ obda.

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}v_{3}+0v_{4}+...+0v_{n}=\Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}v_{3}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}(a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} )=\vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}(a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} )+(-\Lambda_{3}(a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} ))=\vec{0}+(-\Lambda_{3}(a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} ) = -\Lambda_{3}(a\vec{v_{1} }+b\vec{v_{2}} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}= (-\Lambda_{3}a\vec{v_{1} })+ (-\Lambda_{3}b\vec{v_{2}} )) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Lambda_{1}= (-\Lambda_{3}a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Lambda_{2}= (-\Lambda_{3}b) \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}v_{1}+ \Lambda_{2}v_{2}+\Lambda_{3}v_{3}+...+\Lambda_{n}v_{n}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht eindeutig Lösbar -> Die Vektoren sind Linear Abhängig

Kann man das so schreiben?
Die Lösung an sich dürfte ja eigentlich stimmen... smile

09.05.2011, 11:30

dreikommadrei

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ähm... lamda, a und b sind natürlich aus R

09.05.2011, 12:41

Mazze

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Im Prinzip schon richtige Ideen aber :

Du weißt nicht wieviele Vektoren einen nichtrivialen Koeffizienten haben. Besser

Hinrichtung :

Seien die Vektoren linear Abhängig, dann gibt es $\begin{eqnarray*} m \leq n \end{eqnarray*}$ Koeffizienten der Linearkombination die ungleich 0 sind. Also ?

Rückrichtung :

Nehmen wir also an es gäbe einen Vektor der sich als Linearkombination darstellen lässt. Dann gibt es also mindestens einen Koeffizienten der Linearkombination der ungleich 0 ist, also ?

09.05.2011, 18:28

dreikommadrei

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Hinrichtung:
Also ist die Linearkombination
$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}\vec{v}_{1}+ \Lambda_{2}\vec{v}_{2}+\Lambda_{3}\vec{v}_{3}+...+\Lambda_{n}v_{n}=\vec{0} \end{eqnarray*}$
nicht eindeutig lösbar. Oder?
Versteh nicht so genau auf was wir hinaus wollen...

also ein Vektor der lin Abhänig ist kann ja so dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_m=\Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$

Rückrichtung:
ist das nicht genau das, was ich oben gezeigt hab?
Ich habe einen Vektor als Lin Kombi von 2 Vektoren genommen und habe dann gezeigt, dass, wenn lambda 1 und lambda 2 ungleich 0 sind, auch lambda3 ungleich null ist und dennoch die Linearkombination = 0 ist

09.05.2011, 19:29

Mazze

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Zitat:

Rückrichtung: ist das nicht genau das, was ich oben gezeigt hab?

Dein Problem ist, dass Du annimmst der Vektor würde als Linearkombination von 2 Vektoren darstellbar sein. Du weißt aber nicht wieviele Koeffizienten ungleich 0 sind. Es könnte auch nur einer sein, es könnten n - 1 sein usw. Du weißt lediglich, dass es m <= n Vektoren gibt, so dass ein Vektor eine Linearkombination dieser m Vektoren ist. Deine Idee ist aber trotzdem richtig.

Zitat:

Also ist die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}\vec{v}_{1}+ \Lambda_{2}\vec{v}_{2}+\Lambda_{3}\vec{v}_{3}+...+\Lambda_{n}v_{n}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig lösbar. Oder?

Das nehmen wir für die Hinrichtung an. Jetzt musst Du diese Gleichung nur nach einem Vektor umstellen, dessen Koeffizient ungleich 0 ist.

09.05.2011, 19:43

dreikommadrei

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hab ich das nicht bereits damit getan:

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{m}\vec{v}_m=\Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n \end{eqnarray*}$

?

09.05.2011, 19:56

Mazze

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Ja, ich würde noch durch Lambda_m teilen.

09.05.2011, 21:11

dreikommadrei

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$\begin{eqnarray*} \vec{v}_m=\frac{\Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n}{\Lambda_{m}} \end{eqnarray*}$

Aber was genau mach ich nun damit?
Steh gerade echt ein wenig auf dem Schlauch

Also ich könnte das natürlich jetzt in die Linearkombi einsetzen und hätte dann

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n=\vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(\Lambda_{1}\vec{v}_1+\Lambda_{2}\vec{v}_2+...+\Lambda_{(m-1)}\vec{v}_{(m-1)}+\Lambda_{(m+1)}\vec{v}_{(m+1)}+...+\Lambda_{n}\vec{v}_n)=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Aber mir erscheint das jetzt nicht sonderlich genauer... oder doch?

09.05.2011, 21:17

Mazze

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Ich würde einfach

$\begin{eqnarray*} v_m = \frac{\Lambda_1}{\Lambda_m}v_1 + ... + \text{usw.} \end{eqnarray*}$

schreiben und hätte v_m als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt.

09.05.2011, 21:29

dreikommadrei

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Das verstehe ich alles aber so richtig weiter bringt mich das irgendwie nicht wirklich?!

Was genau soll ich denn jetzt aufschreiben verwirrt

Kann ich bei der Hinrichtung einfach Schreiben, dass dann die Linearkombination nicht eindeutig lösbar ist?

Bin gerade ein wenig planlos

09.05.2011, 21:33

Mazze

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Du siehst den Beweis doch vor Dir. Sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_m \end{eqnarray*}$ linear Abhängig so gibt es 1 <= m <= n Koeffizienten die ungleich 0 sind. Sei also $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist also

$\begin{eqnarray*} v_k = \sum_{i=1,i\neq k}^n \frac{\lambda_i}{-\lambda_k}v_i \end{eqnarray*}$

eine Linearkombination der anderen Vektoren. Hinrichtung fertig. (ich teile durch -lambda_k da man in der Linearkombination ja stets lambda_1v_1 + lambda_2v_2 + ... + usw schreibt, ist aber nur Notation).

09.05.2011, 22:46

dreikommadrei

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Ich glaub ich habs.

Die Tomaten auf den Augen...

Danke!b Gott

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