Lineare Abhängigkeit von Vektoren

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dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Zeigen Sie: sind genau dann linear abhängig, wenn einer dieser Vektoren sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Meine Lösung:


Sei eine linearkombination aus
und

Zu Zeigen: sind Linear Abhängig

Beweis:
Sei


Sei obda.










und


-> ist nicht eindeutig Lösbar -> Die Vektoren sind Linear Abhängig




Kann man das so schreiben?
Die Lösung an sich dürfte ja eigentlich stimmen... smile
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

ähm... lamda, a und b sind natürlich aus R
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip schon richtige Ideen aber :

Du weißt nicht wieviele Vektoren einen nichtrivialen Koeffizienten haben. Besser

Hinrichtung :

Seien die Vektoren linear Abhängig, dann gibt es Koeffizienten der Linearkombination die ungleich 0 sind. Also ?

Rückrichtung :

Nehmen wir also an es gäbe einen Vektor der sich als Linearkombination darstellen lässt. Dann gibt es also mindestens einen Koeffizienten der Linearkombination der ungleich 0 ist, also ?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Hinrichtung:
Also ist die Linearkombination

nicht eindeutig lösbar. Oder?
Versteh nicht so genau auf was wir hinaus wollen...

also ein Vektor der lin Abhänig ist kann ja so dargestellt werden:







Rückrichtung:
ist das nicht genau das, was ich oben gezeigt hab?
Ich habe einen Vektor als Lin Kombi von 2 Vektoren genommen und habe dann gezeigt, dass, wenn lambda 1 und lambda 2 ungleich 0 sind, auch lambda3 ungleich null ist und dennoch die Linearkombination = 0 ist
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Rückrichtung: ist das nicht genau das, was ich oben gezeigt hab?


Dein Problem ist, dass Du annimmst der Vektor würde als Linearkombination von 2 Vektoren darstellbar sein. Du weißt aber nicht wieviele Koeffizienten ungleich 0 sind. Es könnte auch nur einer sein, es könnten n - 1 sein usw. Du weißt lediglich, dass es m <= n Vektoren gibt, so dass ein Vektor eine Linearkombination dieser m Vektoren ist. Deine Idee ist aber trotzdem richtig.

Zitat:
Also ist die Linearkombination nicht eindeutig lösbar. Oder?


Das nehmen wir für die Hinrichtung an. Jetzt musst Du diese Gleichung nur nach einem Vektor umstellen, dessen Koeffizient ungleich 0 ist.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich das nicht bereits damit getan:




?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich würde noch durch Lambda_m teilen.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »




Aber was genau mach ich nun damit?
Steh gerade echt ein wenig auf dem Schlauch


Also ich könnte das natürlich jetzt in die Linearkombi einsetzen und hätte dann






Aber mir erscheint das jetzt nicht sonderlich genauer... oder doch?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einfach



schreiben und hätte v_m als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich alles aber so richtig weiter bringt mich das irgendwie nicht wirklich?!

Was genau soll ich denn jetzt aufschreiben verwirrt

Kann ich bei der Hinrichtung einfach Schreiben, dass dann die Linearkombination nicht eindeutig lösbar ist?


Bin gerade ein wenig planlos
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du siehst den Beweis doch vor Dir. Sind die Vektoren linear Abhängig so gibt es 1 <= m <= n Koeffizienten die ungleich 0 sind. Sei also . Dann ist also



eine Linearkombination der anderen Vektoren. Hinrichtung fertig. (ich teile durch -lambda_k da man in der Linearkombination ja stets lambda_1v_1 + lambda_2v_2 + ... + usw schreibt, ist aber nur Notation).
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich habs.

Die Tomaten auf den Augen...


Danke!b Gott
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