Kleiner Fermat'scher Satz

09.05.2011, 14:36

Ravenlord

Kleiner Fermat'scher Satz

Hi,

brauche Hilfe.

Zitat:

Man beweise den kleinen Fermat'schen Satz:

Für jede Primzahl p und alle $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^p = x^p + y^p. \end{eqnarray*}$

Ansätze hab ich leider noch keine bzw. alle wieder verworfen. Wollte es zuerst mit Induktion versuchen, aber ich weiß nicht, wie man eine Induktion mit Primzahlen umsetzen soll, da p+1 keine Primzahl ist, wenn p != 2 eine Primzahl ist.

Weiterhin habe ich versucht, den binomischen Lehrsatz einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^p = \sum_{k=0}^{p} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} x^{p-k}y^k \end{eqnarray*}$ , aber ich weiß nicht so recht.

Da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix}\stackrel{Def.}{=} \frac{p!}{k!(p-k)!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p! \text{ mod } p = 0 \end{eqnarray*}$ , sollte doch p! immer 0 sein... oder seh ich da was falsch?

Es könnte nämlich auch sein, dass p! = 0! = 1, weil in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt, dass p = 0. Bin mir da nicht sicher.

Brauche auf alle Fälle Hilfe von euch.... Danke im Voraus für euer Bemühen!

09.05.2011, 16:14

tmo

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Du müsstest jetzt noch zeigen: $\begin{eqnarray*} \binom{p}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , das ist aber nicht ganz so trivial, wie du es darstellst, da ist schon noch ein bisschen zu zeigen. Denn alle p's die in $\begin{eqnarray*} p! \end{eqnarray*}$ stecken, könnten ja vielleicht im Nenner wieder rausgekürzt werden, sodass der Bruch letztendlich nicht durch p teilbar ist. Da wäre also noch was zu tun, aber es hält sich in Grenzen.

Etwas elleganter geht es, wenn du ausnutzt, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/pZ)^* \end{eqnarray*}$ genau p-1 Elemente enthält, also $\begin{eqnarray*} a^{p-1}=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in (\mathbb Z/pZ)^* \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert man mit a erhält man $\begin{eqnarray*} a^p=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in (\mathbb Z/pZ)^* \end{eqnarray*}$ . Diese Identität gilt aber nun sogar für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z/pZ \end{eqnarray*}$ , wie man durch Einsetzen der einzigen Nicht-Einheit sieht.

09.05.2011, 16:19

Ravenlord

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Danke erstmal für Deine Antwort. Ich werde mir was überlegen und meine Ideen dann posten.

Eine kurze Frage noch: Die Notation $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ ist mir unbekannt. Was bedeutet das? Wird da die Null ausgeschlossen? Danke im Voraus für Deine Mühe. Freude

09.05.2011, 16:35

tmo

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In einem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bezeichnet man mit $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ die Menge aller Einheiten von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , d.h. die multiplikativ invertierbaren Elemente. Diese Menge bildet eine Gruppe bzgl. der Multiplikation.

Ist R sogar ein Körper (wie hier), dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} R^* = R \setminus \{ 0\} \end{eqnarray*}$ , da in einem Körper jedes Nicht-Nullelement ein multiplikativ Inverses hat.

09.05.2011, 16:52

Ravenlord

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Ich sehe gerade:

Die Behauptung $\begin{eqnarray*} a^{p-1} = 1, \forall a \in (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ muss ich nach dem Satz noch durch Induktion beweisen, ich weiß nicht, ob man das für den Beweis des Satzes schon verwenden darf. Es heißt:
"Man beweise dann nach Induktion die Gleichung x^p = x für alle x aus Z/pZ."

Ansonsten folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^p =\underbrace{(x+y)^{p-1}}_{=1} \cdot (x+y) = (x+y) = x^p + y^p. \end{eqnarray*}$

Wenn man das allerdings noch nicht verwenden darf, müsste ich das mit dem Binomialkoeffizienten zeigen, oder?

09.05.2011, 17:22

Ravenlord

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Ich kann leider nicht mehr editieren (15min vorbei), deswegen ein neuer Beitrag. Habe mir nun folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} = \frac{p!}{k!(p-k)!} \end{eqnarray*}$

Es gilt: p = 0 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{p!}{k!(p-k)!} = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn p im Zähler vorkommt, d.h. nicht gekürzt werden kann.

p Primzahl $\begin{eqnarray*} \Rightarrow p \neq l \cdot m \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} l,m \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 1, p\rbrace \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} p! \geq k! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p! \geq (p-k)! \end{eqnarray*}$ und Gleichheit nur vorhanden ist, wenn k = p oder wenn k = 0, bedeutet das zusammen mit dem Faktum, dass p sich nicht als Produkt zweier natürlichen Zahlen (ungleich 1 und p) schreiben lässt, dass p! im Zähler für k = 0 und für k = p echt vorkommt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} = 0 \text{ } \forall k \neq p,0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{k=0}^{p} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} x^{p-k}y^k = x^p + y^p \end{eqnarray*}$

QED.

Ich bedanke mich aufs herzlichste für deine Denkanstöße. Freude

Gruß,
Andi Wink

10.05.2011, 06:57

tmo

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Du hast die richtige Idee, argumentierst aber falsch. Du meinst doch die ganze Zeit, dass p nicht im Nenner vorkommt. Das ist das entscheidende, weil es deswegen nicht rausgekürzt werden kann.

Mann kann übrigens sogar noch mehr zeigen: Ist $\begin{eqnarray*} ggt(n,k)=1 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} n|\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

10.05.2011, 07:25

Ravenlord

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Hm, aber wo ist ein Fehler? Vielleicht kams etwas falsch rüber.

Ich habe gesagt, weil p Primzahl ist, lässt es sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen (ohne 1 und p) schreiben, d.h. k! und (p-k)! enthalten nicht den Faktor p, wenn k ungleich 0 oder p gilt.

Da k! * (p-k)! den Nenner bildet und der Faktor p nur darin vorkommt, wenn k != 0 oder wenn k != p, kann p im Zähler nur für k=0 und k=p gekürzt werden. Alle anderen Binomialkoeffizienten sind also Null.

=> p! kann im Zähler des Binomialkoeffizienten gekürzt werden, wenn k = 0 und k = p.

Vielleicht ist es etwas deutlicher geworden, was ich meine? Jedenfalls ist es 7:25 und ich hatte keine Lust zum texen, ich denke, man kann es auch so lesen.

Gruß,
Andi

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