Summe berechnen

09.12.2006, 17:35	Donny	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe berechnen Guten Tag, ich möchte die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=-1}^{\infty} \frac{x^2}{x^k} \end{eqnarray}$ berechnen. Komme aber auf keinen Zweig. Ich weiß, dass 8 herauskommt. Ich dachte schon an die geometrische Reihe, aber auf Grund des Bruches schließe ich das aus. Hoffe auf eure Hilfe!!!! Gruß , Donny
09.12.2006, 17:36	Donny	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist ein Tippfehler in der Aufgabe, ich möchte die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=-1}^{\infty} \frac{x^2}{2^x} \end{eqnarray}$ berechnen. So, nun stimmts.
09.12.2006, 18:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich gilt für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} = \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ q^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|q\|<1\qquad (1) \end{eqnarray}$ Wendet man das Cauchy-Produkt auf (1) mit sich selbst an, erhält man $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-q)^2} = \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ \left[ \sum_{y=0}^x ~ 1\cdot 1 \right] ~ q^x = \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ (x+1)q^x\qquad (2) \end{eqnarray}$ Dann nochmal Cauchy-Produkt von (1) und (2): $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-q)^3} = \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ \left[ \sum_{y=0}^x ~ (y+1)\cdot 1 \right] ~ q^x = \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ \frac{(x+1)(x+2)}{2} q^x\qquad (3) \end{eqnarray}$ Durch eine passende Linearkombination von (1),(2),(3) gewinnst du eine Reihenwertformel für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=0}^{\infty} ~ x^2q^x \end{eqnarray}$ , wo du dann nur noch $\begin{eqnarray} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ einsetzen musst. Und den einen Summanden $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{2^x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ kannst du dann nachträglich hinzufügen.
09.12.2006, 18:36	Donny	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Sehr schöne und nachvollziehbare Antwort. Nur eins habe ich nicht verstanden - warum setzt man für q dann ein halb ein? Ansonsten vielen lieben Dank für die geniale Antwort!
09.12.2006, 18:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=-1}^{\infty} \frac{x^2}{2^x} = \sum\limits_{x=-1}^{\infty} x^2\cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x \end{eqnarray}$ , das ist es doch, was du berechnen willst, oder?
09.12.2006, 18:52	Donny	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Huch, das hatte ich ja jetzt gar nicht mehr gesehen. Genau das wollte ich berechnen Vielen Dank!
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09.12.2006, 19:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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