Dichtefunktion, einfaches integral :S

09.05.2011, 18:09

tikvica

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Dichtefunktion, einfaches integral :S

So ich muss eig. nur die eigenschaften der dichtefunktion zeigen, aber probleme habe ich bei der Normierung:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^\infty \! ae^{-ax} \, dx = <br /> a* \int_{-\infty }^\infty \! e^{-ax} \, dx = <br /> a* \left[\frac{e^{-ax} }{-a} \right]_{-\infty }^{\infty } \end{eqnarray*}$

und jetzt habe ich n problem (habe lang nicht mehr integrale berechnet)
also wenn ich jetzt unendlich einsetze, kommt doch dann 0 in den eckigen klammern raus :S`???

09.05.2011, 18:26

Mazze

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Naja, unendlich setzt man ja auch nicht ein. Man betrachtet die entsprechenden Grenzwerte. Ich kann dir aber gleich sagen dass das nix wird. Denn Das Integral konvergiert ja nichtmal. Meinst Du nicht eher

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}ae^{-ax^2}dx \end{eqnarray*}$

?

09.05.2011, 18:35

tikvica

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ne leider ist es genau so in der aufgabe, nur dass ich statt von lambda a geschrieben habe :S

09.05.2011, 18:52

zweiundvierzig

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Ich tippe mal darauf, du sollst zeigen, dass die Dichte der Exponentialverteilung wirklich eine Dichte ist. Definitionsgemäß gilt aber $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}\lambda \mathrm {e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

09.05.2011, 20:36

tikvica

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ja.. und wie soll ich dass jetzt zeigen oder geht das nicht??

09.05.2011, 20:40

Mazze

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Das geht durchaus. Und das geht auch so ähnlich wie Du es machst. Nur die untere Grenze deines Integrals ist eine Andere. Über den Anteil wo die Dichte 0 ist brauch man ja nicht integrieren (warum nicht?).

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09.05.2011, 20:47

tikvica

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hmmmm..das weiss ich jetzt nicht?? welche grenze ist dann meine untere :S
sorry..aber bin nicht so gut in diesem bereich

09.05.2011, 20:51

Mazze

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Wenn Du die Nullfunktion integrierst, egal wo, was kommt raus?

09.05.2011, 21:03

tikvica

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die ableitung egal welcher konstate ist die null.. meinst du das?? also ist das integral ja ne beliebige konstante

09.05.2011, 21:04

Mazze

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Zitat:

also ist das integral ja ne beliebige konstante

Rechne mal $\begin{eqnarray*} \int_a^b 0 dx \end{eqnarray*}$

aus. Dann siehste Du was passiert.

09.05.2011, 21:20

tikvica

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ja ein Integral wird ja für die flächenberechnung unter einer funktion verwendet.. wenn ich jetzt dass integral von 0 berechne.. zwischen -1 und 1.. dann kommt keine konstante sondern 0 raus?

09.05.2011, 21:22

Mazze

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Zitat:

dann kommt keine konstante sondern 0 raus?

Warum ein Fragezeichen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich ist der Flächeninhalt unter der Nullfunktion 0! Und das nutzen wir aus. Allgemein gilt :

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx= \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \leq c \leq b \end{eqnarray*}$

Ich denke das ist dir klar. Wie müsstest Du jetzt das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(x) dx \end{eqnarray*}$

aufteilen?

09.05.2011, 21:32

tikvica

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^0 \! f(x) \, dx + \int_{0}^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?????

09.05.2011, 21:33

Mazze

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Richtig, das Linke Integral kannst Du ja leicht ausrechnen, und beim rechten gehst Du ähnlich vor wie oben. Nur dass Du nicht einfach "unendlich einsetzt" sondern ordentlich den Grenzwert betrachtest.

09.05.2011, 21:52

tikvica

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^\infty \! a*e^{-ax} \, dx =a*( \int_{-\infty }^0 \! e^{-ax}\, dx + \int_0^\infty \! e^{-ax} \, dx) = a* ( \left[\frac{e^{-ax}}{-a} \right]_{-\infty }^{0} + \left[\frac{e^{-ax}}{-a} \right]_{0 }^{\infty }) = a* ( \frac{-1}{a} + 0 + \left[\frac{e^{-ax}}{-a} \right]_{0 }^{\infty }) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit :S??? und der grenzwert von der exp. funktion ist doch 0 oder, also wenn das x gegen unnedlich geht??

09.05.2011, 21:55

Mazze

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Du hast das Linkeintegral völlig falsch bestimmt. Die Dichtefuntkion ist doch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}\lambda \mathrm {e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Sprich, für das linke Integral gilt :

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 f(x) dx = \int_{-\infty}^0 0 dx \end{eqnarray*}$

Warum glaubst Du hab ich mit dir den ganzen Kram mit Flächeninhalt unter der Nullfunktion wohl durchgekaut? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.05.2011, 22:06

tikvica

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aaa ich bin dummm XD... jetzt chech ichs!..soo versuch mich erneut

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