Determinante bestimmen

09.12.2006, 17:52

bene_

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Determinante bestimmen

Hallo,

ich muss von einigen Matrizen die Determinanten bestimmen. Bei folgender hab ich noch ein kleines Problem:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1& \\ a& b& c& d \\ a^2& b^2& c^2& d^2 \\ a^3& b^3& c^3 &d^3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab keine Ahnung wie ich das einfach lösen soll. Gut, man kann es nach der ersten Zeile entwickeln und dann Sarrus anwenden, aber das muss theoretisch auch einfacher gehen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass wir diese lange Rechnung durchführen müssen.

09.12.2006, 19:09

Cordovan

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RE: Determinante bestimmen
Naja, du könntest noch nach der Leibniz-Regel rechnen, aber ich glaube das ist noch schlimmer. Entwickele doch ruhig nach der ersten Zeile und beutze dann die Regel von Sarrus.

Cordovan

09.12.2006, 19:38

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Erster Schritt: Nullen erzeugen, z.B. in der ersten Spalte, in dem das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -fache der dritten Zeile von der vierten abzieht, anschließend das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Zeile von der dritten abzieht, und letztlich das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der zweiten abzieht:

das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der dritten, und schließlich das $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der vierten Zeile subtrahiert wird:

$\begin{eqnarray*} D := \begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1& \\ a& b& c& d \\ a^2& b^2& c^2& d^2 \\ a^3& b^3& c^3 &d^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1& \\ 0& b-a& c-a& d-a \\ 0& b^2-ab& c^2-ac& d^2-ad \\ 0& b^3-ab^2& c^3-ac^2 &d^3-ad^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nächster Schritt Entwicklungssatz nach der ersten Spalte:

$\begin{eqnarray*} D = \begin{vmatrix} b-a& c-a& d-a \\ b^2-ab& c^2-ac& d^2-ad \\ b^3-ab^2& c^3-ac^2 &d^3-ad^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du aus der zweiten Spalte $\begin{eqnarray*} (b-a) \end{eqnarray*}$ , aus der dritten Spalte $\begin{eqnarray*} (c-a) \end{eqnarray*}$ und schließlich aus der vierten Spalte $\begin{eqnarray*} (d-a) \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} D = (b-a)(c-a)(d-a)\cdot \begin{vmatrix} 1& 1& 1 \\ b& c& d \\ b^2& c^2 &d^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt der ganze Spaß nochmal, eine Dimension tiefer... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieses Vorgehen eignet sich auch für einen Induktionsbeweis.

09.12.2006, 20:04

bene_

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Hallo Arthur,

den ersten Schritt versteh ich noch. Aber dann mit dem Ausklammern hab ich ein bisschen Probleme.

Da steht ja dann eigentlich folgende Matrix da:

$\begin{eqnarray*} D = \begin{vmatrix} (b-a)1& (c-a)1& (d-a)1 \\ (b-a)b& (c-a)c& (d-a)d \\ (b-a)b^2& (c-a)c^2& (d-a)d^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit welcher Begründung darf ich dann die verschiedenen Faktoren der einzelnen Spalten herausziehen?

Nebenbei noch, ich habs tatsächlich mal komplett ausgerechnet (also so wie ichs im OP geschrieben hab) und einen Term mit 24 Summanden herausbekommen. Vereinfachen konnte ich zumindest nichts mehr.

09.12.2006, 20:07

AD

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Dieses Herausziehen von gemeinsamen Faktoren aus Zeilen oder Spalten ist eine elementare Determinanteneigenschaft, die direkt aus der Definition folgt!

09.12.2006, 20:20

bene_

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OK, ich habs eben im Script wieder gefunden und jetzt auch nachvollziehen können. Danke für die Hilfe.

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09.12.2006, 20:23

AD

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Zitat:

Original von bene_
und einen Term mit 24 Summanden herausbekommen. Vereinfachen konnte ich zumindest nichts mehr.

Es ist dringend anzuraten, es bei der oben erkennbaren Produktdarstellung von 6 Differenzen zu belassen:

$\begin{eqnarray*} D=(d-a)(c-a)(b-a)(d-b)(c-b)(d-c) \end{eqnarray*}$

Scheint mir wesentlich sinnvoller. smile

smile

09.12.2006, 20:40

bene_

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Ja, das ist in der Tat um einiges sinnvoller. Jetzt weiß ich zum Glück ja auch selbst wie ich da drauf komm.

09.12.2006, 23:16

Leopold

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Und hier kannst du sehen, was du da berechnet hast.

09.12.2006, 23:21

bene_

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Interessant. Da könnte ich dem Korrekteur ja einfach die Lösung hinklatschen und Vandermonde-Matrix hinschreiben. Akzeptieren wird der das wohl leider nicht. böse

böse

10.04.2007, 20:57

Besucher

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RE: Determinante bestimmen
Hallo!

Wie hättest du denn die Matrix nach der ersten Zeile entwickelt und dann den Sarrus angewandt?

z.b. bei

a1 a2 a3 a4 a5
a6 a7 a8 a9 10
A= a11 a12 a13 a14 a15
a16 a17 a18 a19 a20
a21 a22 a23 a24 a25

Brauch das echt total dringend.

Vielen Dank im Voraus

Mfg Besucher

10.04.2007, 21:26

therisen

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Hallo Besucher,

das macht wenig Sinn - es gibt keine einfache Formel für die Determinante einer 5x5 Matrix. Je nach Koeffizienten überlegt man sich ein geschicktes Vorgehen.

Gruß, therisen

10.04.2007, 22:59

Besucher

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Hi du!

Ich benötige das für eine Alexander-Matrix.

z.B. t -1 t-1 0 0 0
0 t-1 -1 t 0 0
0 0 t t-1 -1 0
0 0 0 t t-1 -1
t 0 0 0 -1 t-1
t-1 -1 0 0 0 t

Könntest du mir erklären wie man sowas rechnet, dass ich dass auf andere Matrizen anwenden kann.

Mfg

11.04.2007, 01:01

therisen

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Ok, es geht also um die Matrix

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} t & -1 & t-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t-1 & -1 & t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t & t-1&-1&0 \\ 0 & 0 & 0& t&t-1&-1\\t&0&0&0&-1&t-1 \\ t-1&-1&0&0&0&t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Möglichkeit, deren Determinante zu berechnen, ist die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen. Man sieht leicht ein, dass $\begin{eqnarray*} \det A = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t=0,1 \end{eqnarray*}$ . Schließlich erhält man

$\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} t & -1 & t-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t-1 & -1 & t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t & t-1&-1&0 \\ 0 & 0 & 0& t&t-1&-1\\0&0&0&0&-\frac{3t-3t^2-2+t^3}{t(t-1)}&\frac{t^3-t^2-3t+2}{t(t-1)} \\ 0&0&0&0&0&2\cdot\frac{t^2-2t+1}{t^2-t+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt

$\begin{eqnarray*} \det A = \det A' \end{eqnarray*}$

Und letztere ist leicht zu berechnen. Es gibt aber bestimmt noch eine schnellere/geschicktere Methode, $\begin{eqnarray*} \det A \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Gruß, therisen

11.04.2007, 23:59

Besucher

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Und wie kommst du jetzt auf die Matrix A'?

12.04.2007, 00:07

therisen

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http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Algorithmus

12.04.2007, 11:22

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Danke, du hast mir echt weitergeholfen.

Muss nämlich eine Facharbeit schreiben.

Mfg

12.04.2007, 12:01

Besucher

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Noch meine hoffentlich letzte Frage.

Mit der Matrix, die ich dir aufgeschrieben hab, möchte ich das Alexanderpolynom ausrechnen. Dazu muss ich dann die Determinante aus dieser Zeilenstufenform berechnen. Wie geht das?

Mfg

12.04.2007, 12:03

therisen

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Hallo,

da die Matrix in Zeilenstufenform ist, kannst du einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen bilden ("von links oben nach rechts unten").

Gruß, therisen

12.04.2007, 13:29

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Bei dem Gauß Algorithmus-verfahren steht nur wie man das mit ganzzahligen Einträgen auf Zeilenstufenform kommt.
WIe geht das wenn die Matrix Polynome enthält?

Mfg

12.04.2007, 14:46

therisen

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Ganz genauso. Man muss eben durch Polynome dividieren (die Werte, für die das Polynom gleich Null ist, muss man dann als Sonderfälle betrachten).

13.04.2007, 11:37

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Dankeschön!

01.05.2007, 18:20

Besucher

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Knotentheorie
Hast du zufällig auch Wissen zur Knotentheorie?

01.05.2007, 18:24

therisen

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Meinst du Graphentheorie? Falls du Fragen diesbezüglich hast, dann eröffne ein neues Thema Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2007, 18:50

Besucher

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Nee, Knotentheorie, mit Alexanderpolynom usw.

01.05.2007, 18:52

therisen

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Ok, da muss ich passen.

01.05.2007, 19:00

Besucher

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ok, kein problem, aber du könntest mir vielleicht nochmal erklären wie man mithilfe diese Gaußschen Eliminierungsverfahren das auf Variablen anwenden kann und mit was ich die zeilen dann dividieren muss usw., dass hab ich nämlich noch nicht so verstanden.

z.B.

Wenn ich jetzt die Matrix

t 1 -1
0 t -1
t 0 4

01.05.2007, 19:00

Besucher

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wär voll lieb von dir smile

smile

01.05.2007, 19:50

Besucher

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Mit welcher Zahl soll ich die 3. Zeile multiplizieren, damit ich die Stufenform erhalte?

01.05.2007, 20:07

therisen

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Gar nichts. Du subtrahierst von der dritten Zeile die erste Zeile.

01.05.2007, 21:24

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Dankeschön Freude

Freude

Was wäre, wenn die Matrix

t -1 4
0 3 4
1-t 5 4

so ausschauen würde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2007, 21:27

therisen

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Dann substrahierst du das $\begin{eqnarray*} \frac{1-t}t \end{eqnarray*}$ -fache der 1. Zeile von der 3. Zeile, wobei du $\begin{eqnarray*} t\neq0 \end{eqnarray*}$ annehmen musst Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2007, 16:07

Besucher

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Dann wäre meine Matrix
t -1 4
0 3 4
0 5-5t/t 4 ???

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