Determinante bestimmen

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bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante bestimmen
Hallo,

ich muss von einigen Matrizen die Determinanten bestimmen. Bei folgender hab ich noch ein kleines Problem:



Ich hab keine Ahnung wie ich das einfach lösen soll. Gut, man kann es nach der ersten Zeile entwickeln und dann Sarrus anwenden, aber das muss theoretisch auch einfacher gehen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass wir diese lange Rechnung durchführen müssen.
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante bestimmen
Naja, du könntest noch nach der Leibniz-Regel rechnen, aber ich glaube das ist noch schlimmer. Entwickele doch ruhig nach der ersten Zeile und beutze dann die Regel von Sarrus.

Cordovan
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Erster Schritt: Nullen erzeugen, z.B. in der ersten Spalte, in dem das -fache der dritten Zeile von der vierten abzieht, anschließend das -fache der zweiten Zeile von der dritten abzieht, und letztlich das -fache der ersten Zeile von der zweiten abzieht:

das -fache der ersten Zeile von der dritten, und schließlich das -fache der ersten Zeile von der vierten Zeile subtrahiert wird:



Nächster Schritt Entwicklungssatz nach der ersten Spalte:



Und jetzt kannst du aus der zweiten Spalte , aus der dritten Spalte und schließlich aus der vierten Spalte ausklammern:



Und jetzt der ganze Spaß nochmal, eine Dimension tiefer... Augenzwinkern

Dieses Vorgehen eignet sich auch für einen Induktionsbeweis.
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur,

den ersten Schritt versteh ich noch. Aber dann mit dem Ausklammern hab ich ein bisschen Probleme.

Da steht ja dann eigentlich folgende Matrix da:



Mit welcher Begründung darf ich dann die verschiedenen Faktoren der einzelnen Spalten herausziehen?

Nebenbei noch, ich habs tatsächlich mal komplett ausgerechnet (also so wie ichs im OP geschrieben hab) und einen Term mit 24 Summanden herausbekommen. Vereinfachen konnte ich zumindest nichts mehr.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Herausziehen von gemeinsamen Faktoren aus Zeilen oder Spalten ist eine elementare Determinanteneigenschaft, die direkt aus der Definition folgt!
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich habs eben im Script wieder gefunden und jetzt auch nachvollziehen können. Danke für die Hilfe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bene_
und einen Term mit 24 Summanden herausbekommen. Vereinfachen konnte ich zumindest nichts mehr.

Es ist dringend anzuraten, es bei der oben erkennbaren Produktdarstellung von 6 Differenzen zu belassen:



Scheint mir wesentlich sinnvoller. smile
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist in der Tat um einiges sinnvoller. Jetzt weiß ich zum Glück ja auch selbst wie ich da drauf komm.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier kannst du sehen, was du da berechnet hast.
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant. Da könnte ich dem Korrekteur ja einfach die Lösung hinklatschen und Vandermonde-Matrix hinschreiben. Akzeptieren wird der das wohl leider nicht. böse
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante bestimmen
Hallo!

Wie hättest du denn die Matrix nach der ersten Zeile entwickelt und dann den Sarrus angewandt?

z.b. bei

a1 a2 a3 a4 a5
a6 a7 a8 a9 10
A= a11 a12 a13 a14 a15
a16 a17 a18 a19 a20
a21 a22 a23 a24 a25

Brauch das echt total dringend.


Vielen Dank im Voraus

Mfg Besucher
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Besucher,

das macht wenig Sinn - es gibt keine einfache Formel für die Determinante einer 5x5 Matrix. Je nach Koeffizienten überlegt man sich ein geschicktes Vorgehen.


Gruß, therisen
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi du!

Ich benötige das für eine Alexander-Matrix.

z.B. t -1 t-1 0 0 0
0 t-1 -1 t 0 0
0 0 t t-1 -1 0
0 0 0 t t-1 -1
t 0 0 0 -1 t-1
t-1 -1 0 0 0 t

Könntest du mir erklären wie man sowas rechnet, dass ich dass auf andere Matrizen anwenden kann.

Mfg
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es geht also um die Matrix



Eine Möglichkeit, deren Determinante zu berechnen, ist die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen. Man sieht leicht ein, dass für . Schließlich erhält man




Dabei gilt



Und letztere ist leicht zu berechnen. Es gibt aber bestimmt noch eine schnellere/geschicktere Methode, zu berechnen.


Gruß, therisen
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du jetzt auf die Matrix A'?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Algorithmus
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, du hast mir echt weitergeholfen.

Muss nämlich eine Facharbeit schreiben.

Mfg
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Noch meine hoffentlich letzte Frage.

Mit der Matrix, die ich dir aufgeschrieben hab, möchte ich das Alexanderpolynom ausrechnen. Dazu muss ich dann die Determinante aus dieser Zeilenstufenform berechnen. Wie geht das?

Mfg
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da die Matrix in Zeilenstufenform ist, kannst du einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen bilden ("von links oben nach rechts unten").


Gruß, therisen
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Gauß Algorithmus-verfahren steht nur wie man das mit ganzzahligen Einträgen auf Zeilenstufenform kommt.
WIe geht das wenn die Matrix Polynome enthält?

Mfg
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genauso. Man muss eben durch Polynome dividieren (die Werte, für die das Polynom gleich Null ist, muss man dann als Sonderfälle betrachten).
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »
Knotentheorie
Hast du zufällig auch Wissen zur Knotentheorie?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du Graphentheorie? Falls du Fragen diesbezüglich hast, dann eröffne ein neues Thema Augenzwinkern
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, Knotentheorie, mit Alexanderpolynom usw.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da muss ich passen.
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

ok, kein problem, aber du könntest mir vielleicht nochmal erklären wie man mithilfe diese Gaußschen Eliminierungsverfahren das auf Variablen anwenden kann und mit was ich die zeilen dann dividieren muss usw., dass hab ich nämlich noch nicht so verstanden.

z.B.

Wenn ich jetzt die Matrix

t 1 -1
0 t -1
t 0 4
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

wär voll lieb von dir smile
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welcher Zahl soll ich die 3. Zeile multiplizieren, damit ich die Stufenform erhalte?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Gar nichts. Du subtrahierst von der dritten Zeile die erste Zeile.
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön Freude

Was wäre, wenn die Matrix

t -1 4
0 3 4
1-t 5 4

so ausschauen würde. Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann substrahierst du das -fache der 1. Zeile von der 3. Zeile, wobei du annehmen musst Augenzwinkern
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre meine Matrix
t -1 4
0 3 4
0 5-5t/t 4 ???
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