Matrix will sich einfach nicht invertieren lassen

09.05.2011, 18:54	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix will sich einfach nicht invertieren lassen Hey, langsam zweifel ich an allem, was ich bisher so gelernt hab. Es geht insgesamt darum folgende Matrix zu diagonalisieren: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also habe ich davon das charakteristische Polynom bestimmt: $\begin{eqnarray} charpol_A = det(A-XE_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = det \begin{pmatrix} 1-x & 1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(1-x)(-x)-11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^2 -x -1 \end{eqnarray}$ Davon habe ich jetzt die Nullstellen bestimmt um die Eigenwerte zu erhalten und erhalte: Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1 -\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich jeweils die Eigenräume bestimmt, indem ich $\begin{eqnarray} ker(A-EwE_2) \end{eqnarray}$ errechnet habe. Ich denke das LGS habe ich richtig gelöst und erhalte dann als Eigenräume bzw. als Basis der Eigenräume: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t \\ \frac{2t}{1+\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t \\ \frac{2t}{1-\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die erste Basis zum Eigenraum des ersten Eigenwerts und die zweite Basis zum Eigenraum des zweiten Eigenraums. Jetzt kann ich ja A diaogonalisieren, indem ich A in der Form schreibe: $\begin{eqnarray} A = SDS^{-1} \end{eqnarray}$ wobei in der Matrix D gerade die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen und in S gerade die jeweiligen Basen zu den Eigenwerten in den Spalten stehen. ich erhalte also für D: $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0 \\ \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ich ja nur eine Basis brauche, habe ich für t einfach 1 eingesetzt, ich hoffe, das ist soweit in Ordung. und dazu passend für S: $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac{2}{1+\sqrt{5}} & \frac{2}{1 -\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich ja EIGENTLICH wenn ich alles bis hierhin richtig habe, nur noch S invertieren. Da bietet sich ja die Formel an: $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich erhalte dann für $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} S^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{2 \sqrt{5}}{1- \sqrt{5}} & \sqrt{5} \\ \frac{2 \sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} & -\sqrt{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich aber dann $\begin{eqnarray} S * S^{-1} \end{eqnarray}$ rechne, dann erhalte ich : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ich weiß einfach nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mich vorm absoluten Verzweifeln retten. Gruß Martin
09.05.2011, 19:53	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast Du so schön gerechnet, und stolperst über das $\begin{eqnarray} \frac{1}{\det(A)} \end{eqnarray}$ Richtig hingeschrieben, falsch gerechnet.
09.05.2011, 19:58	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
det(A) = det(S) in meinem Fall: $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac{2}{1+\sqrt{5}} & \frac{2}{1-\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(S) = \frac{2}{1-\sqrt{5}} - \frac{2}{1+\sqrt{5}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2+2\sqrt{5}-2+2\sqrt{5}}{-4} \end{eqnarray}$ für 1/detA ergibt sich dann doch: $\begin{eqnarray} - \frac{4}{4\sqrt{5}} = -\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ Ah, ich glaub ich hab den Fehler, aber das ist komisch .... ich hab mit dem kehrwert multipliziert um durch den unteren bruch zu teilen, wenn ich das aber so ausrechne, komme ich auf 1 / -wrzl(5) glaube ich, ich rechne noch mal nach, das ist ja komisch
09.05.2011, 19:59	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \det(A) = -\sqrt{5} \Rightarrow \frac{1}{\det(A)} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$
09.05.2011, 20:01	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gerade auch gemerkt, aber eigentlich müsste das auch andersrum rauskommen, also so wie ichs gemacht hab.... ich weiß grad nich wo ich mich verrechnet hab, danke sehr Das ist jetzt wirklich komisch, man kann doch durch Brüche dividieren, indem man mit dem kehrwert multipliziert... Das müsste doch auch gehen, wenn der Bruch sich noch kürzen lässt. Also müsste doch $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{4sqrt{5}}{-4}} \end{eqnarray*}$ 1 / -wzrl(5) sein oder nicht? Also auch wenn ich nicht erst den Bruch durch das kürzen eliminiere...
09.05.2011, 20:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komm damit auf die Einheitsmatrix.
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09.05.2011, 20:06	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
ach scheiße, ich hab ne 1 oben auf dem bruchstrich vergessen beim kürzen... wie kann denn sowas.... man sollte Mathe nicht im Zug machen.. zu viel ablenkung
09.05.2011, 22:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
manchmal hilft es schon das Fenster zu schliessen

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