Verschoben! punkte auf einer ebene

09.05.2011, 21:46

alice*

punkte auf einer ebene

hey

also die drei punkte a;b sowie c bilden ein dreieck, sodass eine ebene G im raum eindeutig festgelegt ist. nun soll man vier weitere punkte angeben, die in dieser ebene g liegen.

A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ C $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich weiß hier gar nicht was ich machen soll, also ich habe schon die vektoren festgelegt, weiß dann aber nicht mehr weiter

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{BC}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 22:16

Gualtiero

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RE: punkte auf einer ebene
Gut, diese Vektoren musst Du noch mit einem Parameter versehen, dann hast Du schon mal die beiden Spannvektoren der Ebene.

Dann brauchst Du noch einen Stützvektor, dafür kannst Du einen der drei Punkte nehmen. Diese drei Vektoren setzt Du einem variablen Vektor gleich, üblicherweise $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ .

Weißt Du, wie man diese Form der Ebenendarstellung nennt?

09.05.2011, 22:25

alice*

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}= \end{eqnarray*}$ x* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a \\ 3a \\ 4a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1a \\ -4a \\ -3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nein ich weiß nicht wie man die darstellung nennt

09.05.2011, 22:49

alice*

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ich hab ne frage wie weiß man eigentlich ob jetzt irgendein punkt auf der ebene liegt?

09.05.2011, 22:53

Gualtiero

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Das ist die Parameterform einer Ebene.

Aber da ist einiges schief gegangen. So sollte es aussehen: $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du darfst nicht irgendeinen Punkt nehmen, sondern einen der drei, also A, B oder C!

Wenn Du jetzt für die Parameter s bzw. t Werte einsetzt, zeigt $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf einen Punkt Deiner Ebene.

09.05.2011, 22:55

alice*

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ok danke, also kann man sagen, dass die vektoren untereinander linear abhängig sind?

09.05.2011, 23:06

Gualtiero

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Edit: Sorry, nein, die beiden Spannvektoren müssen linear unabhängig sein; sonst bekommst Du keine Ebene.

Und die eigentliche Frage hast Du verstanden, das mit dem Berechnen der Punkte. Könntest ja die Erbebnisse zeigen, dass wir sehen, ob sie richtig sind.

09.05.2011, 23:09

alice*

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ok hier, also hab nur jeweils für s und t was eingesetzt.
p1(4,6,8) eig ist es doch egal oder für s=2
p2 t=2 (-2,-8,-6)
wenn das jetzt überhaupt stimmt verwirrt

09.05.2011, 23:14

Gualtiero

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Nein, stimmt nicht. Du musst für s und für t je einen Wert einsetzen, und dann die drei Vektoren addieren ----> das ergibt einen Punkt.

09.05.2011, 23:16

alice*

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P(4,0,4) x=2 und y=2

09.05.2011, 23:25

Gualtiero

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Du meinst s = 2 und t = 2. Ja, dieser Punkt stimmt. Auf diese Weise kannst Du schnell ein paar Punkte berechnen.

Jetzt zu Deiner Frage

Zitat:

ich hab ne frage wie weiß man eigentlich ob jetzt irgendein punkt auf der ebene liegt?

Das wäre praktisch der umgekehrte Rechenweg. Dazu zerlegst Du die Parametergleichung in ein lineares Gleichungssystem und prüfst, ob es für diesen Punkt ein einheitliches s und ein einheitliches t gibt. Wenn nicht, liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

09.05.2011, 23:27

alice*

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danke dir, das war echt hilfreich Blumen

09.05.2011, 23:30

Gualtiero

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Gern geschehen.
Aber schau Dir die Aufgabe nochmal an, damit Du sicherer wirst.

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