Dreiecksungleichung beweisen

09.05.2011, 22:16	alanb	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksungleichung beweisen Hallo, ich habe hier schon einige Threads angeschaut, aber die Lösungswege scheinen dort nicht wirklich einfach gehalten. Folgende Dreiecksungleichung ist zu beweisen: $\begin{eqnarray} \|z + w\|^2 \leq (\|z\| + \|w\|)^2 \end{eqnarray}$ Mein bisheriger Weg: $\begin{eqnarray} \|z + w\|^2 \leq (\|z\| + \|w\|)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z \cdot \overline{z} + z \cdot \overline{w} + \overline{z} \cdot w + w \cdot \overline{w} \leq z \cdot \overline{z} + 2 \cdot \|z \cdot w\| + w \cdot \overline{w} \end{eqnarray}$ Identische Terme streichen: $\begin{eqnarray} z \cdot \overline{w} + \overline{z} \cdot w \leq 2 \cdot \|z \cdot w\| \end{eqnarray}$ Man setzt $\begin{eqnarray} z,w = a + b \cdot i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a + b \cdot i) + (a - b \cdot i) \leq 2 \sqrt(a^2 + b^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a \leq 2a +2b \end{eqnarray}$ Damit wäre der Beweis für mich fertig. Oder? Was sagt ihr dazu? Vielen Dank und Gruß Alan
10.05.2011, 13:00	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
Setz mal für z=a+ib und für w=c+id, und dann rechne mal nach was $\begin{eqnarray} \overline{z}w+z\overline{w} \end{eqnarray}$ ist. Tipp für weitere Rechnung: Es gilt $\begin{eqnarray} Re(u)\leq\|u\|, \forall u\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$

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