Injektivität und Links-Inverse

10.05.2011, 07:56	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität und Links-Inverse Hallo, ich habe ein Problem damit, diese Aussage zu wiederlegen: Seien R ein kommutativer Ring, $\begin{eqnarray} m,n \in \mathbb N, A \in R^{m \times n} \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} f: R^n \to R^m, x \to Ax \end{eqnarray}$ ist injektiv $\begin{eqnarray} \implies \end{eqnarray}$ Die Matrix A ist links-invertierbar, d.h. es existiert eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in R^{n \times m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} BA=I_n \end{eqnarray}$ Diese Aussage soll durch ein Gegenbeispiel wiederlegt werden. Ich habe jetzt schon einige lineare Abbildungen bzw. Matrizen betrachtet, wie z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also solche, die vollen Spaltenrang bzw. einen trivialen Kern haben, doch ich habe es immer geschafft, eine Links-Inverse zu den zugehörigen Matrizen zu finden. Jetzt bin ich langsam mit meinen Ideen am Ende, wie ich eine Matrix finden kann, um diese Aussage zu wiederlegen. Kann mir jemand einen tipp geben? danke schonmal im voraus.
10.05.2011, 23:20	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es vielleicht sein, dass die Aussage doch wahr ist, und ich deshalb kein Gegenbeispiel finden kann?
11.05.2011, 18:10	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Links-Inverse Das Problem ist, dass die Aussage für Körper wahr ist. Wenn Deine Matrizen über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ definiert sind, wirst Du kein Gegenbeispiel finden können. Dein kommutativer Ring sollte also kein Körper sein. Gruß, Reksilat.

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