basis berechnen

09.12.2006, 18:27

angiepower :-)

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basis berechnen

einen wunderschönen abend wünsche ich allen forumbesucher.
frage zu der aufgabe:

gegeben seien die untervektorräume

$\begin{eqnarray*} U:= <(2,3,0,5), (1,1,1,3)>_\mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} V:= <(1,4,1,0),(2,1,-5,7)>_\mathbb R \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ . berechne nun jeweils eine basis von

a) $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} U+V \end{eqnarray*}$

zunächst erstmal die frage zu a)

ist es richtig, dass man hier zunächst U und V gleichsetzen soll? wenn ja, was macht man dann?

gruß angie

09.12.2006, 19:22

angiepower :-)

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RE: basis berechnen
hi, ich bins nochma. ich glaube ich hätte eventell eine lösung zu b). ich bin mir aber absolut nicht sicher. Mein Lösungsweg:

Zunächst habe ich folgende Matrix aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 1 &0 \\ 2 & 1 & -5 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & 2,5 & 1 & -2,5 \\ 0 & -2 & -5 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, somit wäre $\begin{eqnarray*} \{ (2,3,0,5),(0;-0,5;1;0,5),(0,0,6,0)\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U+V \end{eqnarray*}$ . Die dimension ist $\begin{eqnarray*} dim(U+V)=3 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? ist überhaupt die methodik, die ich angewendet habe, richtig? ich bin total unsicher

09.12.2006, 20:07

angiepower :-)

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Und bei der a) habe ich schon folgendes gemacht. dies bezieht sich auf eine aufgabe, die so ähnlich im buch war. dementsprechend habe ich es parallel bearbeitet. nur irgendwie ist das ganze komisch. und ab einem bestimmten punkt kam ich nicht mehr weiter:

Zunächst die matrix von U:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ x & y & z &s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ x & y & z &s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & -0,5x+y & z & 0,5x+s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & y & -x+z & s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &5 \\ 0 & -0,5 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & -x+z+2y & s+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann wurden die vektoren in dem beispiel 0 gesetzt. also das es folgendermaßen lautet (weshalb auch immer, verstanden habe ich es nicht):

$\begin{eqnarray*} -x+z+2y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s+y = 0 \end{eqnarray*}$

Das selbe wurde nun mit dem Untervektorraum V gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 7 \\ x & y & z &s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -7 & 7 \\ 0 & -4x+y & -x+z & s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 7 \\ 0 & 0 & 3x-y+z & -4x+y+s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann halt

$\begin{eqnarray*} 3x -y +z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4x +y +s = 0 \end{eqnarray*}$

sollte das nun bis hierhin richtig sein, dass weiss ich jetzt wirklich nihct weiter, wie ich die basis von $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ berechnen soll.

Und was ist mit a) ist das wenigstens richtig?

09.12.2006, 22:21

Dr. Logik

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zu b)
also ich hab das so gemacht, dass ich die 4 Vektoren addiert habe und überprüft, ob diese linear unabhängig sind oder nicht.
Ergebnis: nein!
Folgerung: man kann einen der 4 Vektoren herauslassen und erhält die Basis für U+V.
Hoffe, dass das so richtig ist.

zu a)
ja, erst gleichsetzen (also a*u1+b*u2=c*v1+c*v2). Dann so umformen, dass du eine homogene Matrix erzeugen kannst und diese dann lösen.
Ergebnis: du gekommst als Lösung eine Abhängigkeit von einem Parameter. Setzt du diese Abhängigkeit in a*u1+b*u2 ein und erhältst somit eine Gerade im 4-dimensionalen Raum, die durch den Nullpunkt geht. Eine Basis ist dann der Richtungsvektor der Geraden.

10.12.2006, 00:15

angiepower :-)

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hmmm, meinst du es ist also alles falsch was ich hier gemacht habe?

ich habe es halt nach einem Beispiel gerechnet. das so ähnlich wie diese Aufgabe war. Und ich dachte, es würde so richtig sein. Zumindest so einigermaßen die Rechenschritte, wenn ich es richtig interpretiert habe.

und das mit dem Gleichsetzen zu a) verstehe ich doch nicht so richtig, wie du es meinst.

10.12.2006, 00:36

Dr. Logik

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zu b)
um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht, was du da genau bei b) gerechnet hast. deshalb hab ich dir einfach mal angegeben, wie ich es gelöst habe. deshalb kann ich dir leider überhaupt nichts dazu sagen, ob das nun richtig oder falsch ist, wie du es gemacht hast.

zu a)
Bei a ist es doch so, das "geschnitten" bedeutet, dass man einen Vektorraum erhält, dessen Elemente sowohl in U als auch in V liegen. Deshalb setzt man die beiden gleich, um zu sehen, welche Elemente das sind

(bildlich gesehen: beim Beispiel eines 3-dimensionalen Raumes würdest du zwei Ebenen sich schneiden lassen und dann evtl. eine Gerade erhalten. Auf der Geraden liegen dann alle Elemente, die die beiden Ebenen gemeinsam haben.)

Da die zwei vektoren u1 und u2 von U die k-lineare Hülle bilden, heißt das, dass sich aus u1 und u2 alle möglichen Linearkombinationen in U erzeugen lassen. Also kann man sagen:
$\begin{eqnarray*} U=a*u_1+b*u_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Das gleiche lässt sich auf V übertragen. Also:
$\begin{eqnarray*} V=c*v_1+d*v_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt setzt du U=V und ordnest um, sodass es U-V=0 ergibt. Jetzt musst du dieses LGS lösen (z.B. indem du es in eine Matrix umschreibst).

Zum Vergleich:
ich habe (wenn ich mich nicht verrechnet habe) als Ergebnis erhalten, dass eine Variable frei wählbar ist (bei mir d). Diese setzt du dann als ein neuer Parameter (bei mir d:=2t) und erhältst dann für a,b,c eine Abhängigkeit von t (bei mir a=7t, b=-7t, c=3t).

Hoffe, dass das jetzt etwas verständlicher für dich war. wenn nicht, dann frag nochmal genau nach, was du nicht verstehst

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10.12.2006, 11:03

angiepower :-)

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achso, da habe ich dich also missverstanden.

da ich das beispiel aus dem buch mit U \cap V nicht so ganz verstehe, versuche ich es leiber mal so, wie du es gemacht hast.

dann versuche ich es mal, schritt für schritt zu berechnen. Du hast ja erstmal so angefangen:

$\begin{eqnarray*} U=a*u_1+b*u_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} U=a*(2,3,0,5) +b*(1,1,1,3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} V=c*v_1+d*v_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} V=c*(1,4,1,0)+d*(2,1,-5,7) \end{eqnarray*}$

UNd wenn ich nun U-V mache, erhalte ich folgendes Gleichungssystem:

\begin{pmatrix} a2 & b & -c & -d2 & 0 \\ a3 & b & -c4 & -d & 0 \\ 0 & b & -c & d5 & 0 \\ a5 & 3 & 0 & -d7 & 0 \end{pmatrix}

nun die frage: ist die matrix so richtig?

10.12.2006, 11:04

angiepower :-)

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oh, hatte die matrix nicht getecht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a2 & b & -c & -d2 & 0 \\ a3 & b & -c4 & -d & 0 \\ 0 & b & -c & d5 & 0 \\ a5 & 3 & 0 & -d7 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.12.2006, 11:11

angiepower :-)

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das tut mir jetzt unendlich leid. hat sich wieder ein fehlerteufel eingeschlichen.
jetzt müsste die matrix, wenn ich es richtig gemacht habe, jetzt stimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a2 & b & -c & -d2 & 0 \\ a3 & b & -c4 & -d & 0 \\ 0 & b & -c & d5 & 0 \\ a5 & b3 & 0 & -d7 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ach noch nee frage. ist es richtig, dass die variablen a,b,c,d auch mit in de mtarix eingebaut werden?

10.12.2006, 11:33

angiepower :-)

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na, ich glaube man nimmt die variablen a,b,c,d nich mit in die matrix, oder?
aber bitte bestättigt mir das nochma bitte.

aufjedenfall, ob jetzt die variablen drin oder nihct drin sind, habe ich folgende lösung der matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 5 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & -7 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & -0,5 & -2,5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 5 & 0 \\ 0 & 0,5 & 2,5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & -0,5 & -2,5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, und ich habe ein fast gleiche übereinstimmung bei der berechnung von a,b,c,d wie Dr. Logik :

d := 2t

c = 3t

b = -7t

a = 2,5 t (das weicht von Dr. Logik ab. ich habe nochmal geguckt. ich glaube nicht das ich mich verrechnet habe. oder doch?)

sollte das bis hier hin rihctig sein, dann ist jetzt meine frage, wie ich hiermit nun die basis betimmen kann. oder wie lautet die basis jetzt. und welche dimension hat sie.

10.12.2006, 11:48

Dr. Logik

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Ja, das sieht doch schon ganz gut aus. Du brauchst die Variablen wie du schon bemerkt hast nicht in die Matrix zu schreiben. Ich habe mir deine Matrizen noch mal angesehen und finde jetzt so schnell keinen Fehler, allerdings wenn ich für d=2t, c=3t und b=-7t in die erste Zeile einsetze, dann komme ich noch immer auf a=7t. Hast dich da bestimmt mit nem Minuszeichen vertan, denn

2a - 7t - 3t - 4t = 0 liefert 2a = 14t und daraus folgt a = 7t.

Jetzt setzt du für a und b die werte in die Gleichung für U ein - also 7t*(2,3,0,5) - 7t*(1,1,1,3) und fasst das ganze zusammen. Wenn du dasgleiche für V machst (also mit c und d), dann erhältst du jedesmal das gleiche Ergebnis. Und das ist eine Gerade im 4-dimensionalen Raum durch den Nullpunkt. Davon der Richtungsvektor ist auch der Basisvektor von U geschnitten V.

10.12.2006, 12:38

angiepower :-)

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oh mist, nee es kommt für a=7t raus. versehentlich hatte ich den wert für d = 2t eingesetzt. nee ist mein fehler.

Und es kommt dann raus, wenn man das für a,b,c,d einsetzt:

$\begin{eqnarray*} U = V = \begin{pmatrix} 7t \\ 14t \\ -7t \\ 14t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ist das jetzt der Basisvektor?

10.12.2006, 14:11

Dr. Logik

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ganz einfach (7,14,-7,14) oder wenn du das schöner findest (1,2,-1,2). Du solltest allerdings nicht schreiben u=v=... sondern u geschnitten v =...

Viele Grüße, Dr. Logik

10.12.2006, 14:23

angiepower :-)

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das ist ja klasse :-)

vielen dank für deine Hilfe Dr. Logik.

und du hast recht. U = V sollte man da wirklich nicht schreiben. danke für den Hinweis.

Nur eine Frage hätte ich noch. hat ein Untervektorraum nur eine Basis? oder könnte er auch mehrere Basen haben?

wenn nein, dann wäre meine Frage ob du zu b) vielleicht die selbe basis wie ich hast.

10.12.2006, 14:25

angiepower :-)

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Upps, habe noch eine Frage vergessen:

die basis zu a) hat doch 4 dimensionen. das ist ja richtig, oder?

10.12.2006, 14:40

Dr. Logik

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Zitat:

Original von angiepower :-)
Nur eine Frage hätte ich noch. hat ein Untervektorraum nur eine Basis? oder könnte er auch mehrere Basen haben?

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, wie eine Basis eines Untervektorraums aussehen kann. In unserem Fall b) besteht eine Basis hier aus 3 linear unabhängigen Vektoren (welche das sind, ist eigentlich total egal). ich habe einfach 3 der 4 Vektoren aus U und V genommen, weil nur drei Vektoren linear unabhängig sind... (wie gesagt, weiß nicht, ob das so richtig ist....)

Zitat:

die basis zu a) hat doch 4 dimensionen. das ist ja richtig, oder?

Meinst du, ob sie aus einem Vektor mit 4 Komponenten besteht? Wenn ja: Stimmt!
Aber du hast doch die Basis mittlerweile. Wo ist jetzt noch das Problem?

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