Cauchy Folge

10.05.2011, 12:49

Furius

Cauchy Folge

Meine Frage:
Hab eigentlich nur ne kleine Frage.. wofür steht genau N(?)?
Und ob ich richtig verstanden habe was eine Folge ist:

Also bei einer Folge wird jedem n aus N ein an zugeordnet.
Darauf ergibt sich dann doch eine Zahlenreihe oder?

Gut nun können diese Folgen konvergieren d.h sie gehen auf einen bestimmen Wert a zu.

Bsp.
n -> 1/an

Dann erhält man die Folge 1,1/2,1/3.... usw.. oder?

Also geht diese Folge mit immer Größer werdendem n gegen 0 richtig?

Dann wäre 0 der Grenzwert der Folge?
Und damit das so ist muss eben Mathematisch gelten das es ein ? gibt was Größer als mein an,tes glied ist, was also heißt das an so nahe am Grenzwert in diesem Fall 0 liegt das e keine Zahl mehr gibt die dazwischen passt oder?

Meine Ideen:
Verbessert bitte wenn ich das nicht richtig verstanden hab.. danke smile

10.05.2011, 13:18

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also bei einer Folge wird jedem n aus N ein an zugeordnet. Darauf ergibt sich dann doch eine Zahlenreihe oder?

Im Prinzip schon. Zahlenreihe sagt man meistens, wenn Du endlich viele Zahlen hast. Eine Zahlenfolge besteht aus unendlich vielen Zahlen!

Dein Beispiel :

$\begin{eqnarray*} n \mapsto \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$

ist nicht gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} n \mapsto \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Betrachte zum Beispiel die Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} n \mapsto 2 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} n \mapsto \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Also geht diese Folge mit immer Größer werdendem n gegen 0 richtig? Dann wäre 0 der Grenzwert der Folge?

Ja, 0 ist der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und damit das so ist muss eben Mathematisch gelten das es ein ? gibt was Größer als mein an,tes glied ist, was also heißt das an so nahe am Grenzwert in diesem Fall 0 liegt das e keine Zahl mehr gibt die dazwischen passt oder?

Die exakte Definition : Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ gilt.

Wörtlich übersetzt : Egal wie klein ich die Genauigkeit Epsilon wähle (= für alle Epsilon), es sind immer nur höchstens endlich viele (nämlich 1 bis N) Zahlen (es gibt ein N in N) ausserhalb der Epsilonumgebung um den Grenzwert (alle Zahlen a_n mit n > N sind innerhalb der Epsilonumgebung).

10.05.2011, 13:46

Furius

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke smile

Also wäre

an= n

an=-n

Dann konvergent oder divergent? Weil es geht ja gegen unendlich bzw. Minus unendlich..

Und eine letzte kleine Frage noch.. Was ist dann der unterschied zwischen einer cauchy und einer nullfolge?

Das Beispiel 1/n ist doch eine cauchyfolge oder? Aber gleichzeitig doch auch eine nullfolge??

10.05.2011, 13:53

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Dann konvergent oder divergent? Weil es geht ja gegen unendlich bzw. Minus unendlich..

Überlege selbst mal. Wenn ich die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = n \end{eqnarray*}$ betrachte, und mir irgendein Epsilon > 0 hernehme. Und nehmen wir an a wäre der Grenzwert. Gibt es dann ein N aus den natürlichen Zahlen mit :

$\begin{eqnarray*} |n - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ ?

Versuche das mal wirklich explizit zu durchdenken. Denn das Hilft dir in dem ganzen Komplex.

Zitat:

Was ist dann der unterschied zwischen einer cauchy und einer nullfolge?

Eine Cauchyfolge ist eine Folge für die gilt :

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N \in \mathbb{N} ~ \forall m,n > N ~ |a_n - a_m| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Schau Dir mal den Unterschied zur Konvergenz an. Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, deren Folgenglieder ab einem bestimmten Index nicht größer als Epsilon auseinander sind.

Eine Nullfolge ist eine Folge die die 0 als Grenzwert hat.

Zitat:

Das Beispiel 1/n ist doch eine cauchyfolge oder? Aber gleichzeitig doch auch eine nullfolge??

Hier muss man genauer hinsehen. Die Eigenschaft, dass eine Cauchyfolge auch konvergiert ist eine enorm wichtige. Da möchte ich aber eure Vorlesung nicht vorgreifen. Fakt ist, dass 1/n sowohl Cauchyfolge als auch 0-Folge ist.

10.05.2011, 14:00

Furius

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine cauchyfolge konvergiert doch immer oder?
Hatten das schon in der Vorlesung wollte nur sicher sein das ich es richtig verstanden hab.

Die Folge an=n hat doch keinen festen Grenzwert a. Weil wenn ich den Nachfolger zu n, welcher n+1 ist wähle steigt damit doch auch der Grenzwert auf den diese Folge zugehen würde wenn sie konvergieren würde. Somit divergiert sie.

Das wäre jetzt meine Begründung Big Laugh

Weil ich soll nun als Aufgabe 2 divergente folgen finden die miteinander addiert konvergieren.
Da habe ich mir nun die folgen an=n und bn=-n.
Dann habe ich sie addiert und erhalte die Folge cn=0. und diese konvergiert ja egal für welches n gegen 0.

10.05.2011, 14:05

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Eine cauchyfolge konvergiert doch immer oder?

Das nicht. Eine Menge (mit Norm / Metrik) heißt Vollständig, wenn jede Cauchyfolge konvergiert. Zum Beispiel ist die Menge $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},|\cdot| ) \end{eqnarray*}$ vollständig, sprich, jede Cauchyfolge in den reellen Zahlen konvergiert auch.

Nimmt man sich den Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Q},| \cdot | ) \end{eqnarray*}$ her, so stellt man fest dass hier nicht jede Cauchyfolge konvergiert. Als Gegenbeispiel wählt man sich eine Folge in den rationalen Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert. Das Ding ist eine Cauchyfolge, konvergiert aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die Folge an=n hat doch keinen festen Grenzwert a. Weil wenn ich den Nachfolger zu n, welcher n+1 ist wähle steigt damit doch auch der Grenzwert auf den diese Folge zugehen würde wenn sie konvergieren würde. Somit divergiert sie.

Eine Folge konvergiert , wenn es eine reelle Zahl a gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für Epsilon,n > N usw. Eine Folge divergiert, wenn es diese Zahl a nicht gibt. Jetzt nehmen wir an wir hätten so ein a , und führen das auf einen Widerspruch.

zu deiner Aufgabe 2 : Richtig!