Relation -reflexiv transitiv oder symmetrisch ( wie lese ich es)

10.05.2011, 13:37

MaddyY334

Relation -reflexiv transitiv oder symmetrisch ( wie lese ich es)

Meine Frage:
Folgende Aufgabe: R1 ={(x,y) ? X1xX2: x<y}

? = das Element von Zeichen

Jetzt wollte ich wissen wie ich das überhaupt zu lesen habe? Heisst es , dass x und y ein Element der Relation ist ? Und wieso steht da x<y ?
Lg

Meine Ideen:
Steht oben smile

10.05.2011, 13:43

Mazze

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In Latex :

$\begin{eqnarray*} R_1 = \left\{(x,y) \in X_1 \times X_2 : x < y\right\} \end{eqnarray*}$

Diese Schreibweise ist Standard (bis auf den Doppelpunkt da schreiben manche auch einen Strich | ).

Auf der Linken Seite steht, wo die Elemente herkommen. Hier sind es die Tupel $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ aus der Menge $\begin{eqnarray*} X_1 \times X_2 \end{eqnarray*}$ . Auf der rechten Seite steht eine beschreibende Aussage. Alle Tupel, die diese Eigenschaft erfüllen und aus der entsprechend (links definierten) Menge kommen, gehören dazu. Beispiel :

$\begin{eqnarray*} X_1 = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2 = \{4,5,6\} \end{eqnarray*}$

Sind dann :

$\begin{eqnarray*} (1,4) \in R_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4,1) \in R_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2,6) \in R_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2,8) \in R_1 \end{eqnarray*}$

?

10.05.2011, 13:56

Maaaddyyy334

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Sorry sollte stehen ...X1xX1....

10.05.2011, 13:58

Mazze

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Naja, das macht auch keinen großen Unterschied.

10.05.2011, 14:03

Madddsyy334

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Ok also
X1= \mathbb R

Ich würde sagen diese Relation ist reflexiv weil sowohl x als auch y € von R1 sind . richtig?

Und sorry hab immernoch nicht begriffen wie ich es zu lesen habe.. Bin total auf dem Schlauch unglücklich

10.05.2011, 14:10

Mazze

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Zitat:

Und sorry hab immernoch nicht begriffen wie ich es zu lesen habe.. Bin total auf dem Schlauch

Ich weiß nicht was ich dazu noch sagen soll. Nur noch ein Beispiel :

$\begin{eqnarray*} X_1 = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Wir betrachten die Menge $\begin{eqnarray*} R_1 = \{(x,y) \in X_1 \times X_1 : x < y\} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} X_1 \times X_1 = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt suchen wir alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in X_1 \times X_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ . Das sind :

$\begin{eqnarray*} \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ , sprich, $\begin{eqnarray*} R_1 = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich würde sagen diese Relation ist reflexiv weil sowohl x als auch y € von R1 sind . richtig?

Verstehe ich nicht.

10.05.2011, 14:19

Maaaddyyy334

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Danke. Wie ich es zu lesen habe hab ich denk ich verstanden!
Nun die Frage ob esnreflexiv transitiv und symmetrisch ist.

Mein anstatz: R1 ist nicht reflexiv weil (x,y) nicht Element von R1 sind , da sie ja nicht gleich sind sondern x<y ..
Bitte sag dass das richtig ist ... Big Laugh

10.05.2011, 14:21

Mazze

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Zitat:

Mein anstatz: R1 ist nicht reflexiv weil (x,y) nicht Element von R1 sind , da sie ja nicht gleich sind sondern x<y .. Bitte sag dass das richtig ist ... Big Laugh

Du denkst schon richtig. Aber schreibst noch falsch. Da Du aber schon alles richtig gesagt hast :

Es ist $\begin{eqnarray*} (x,x) \notin R_1 \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} x < x \end{eqnarray*}$ stets eine falsche Aussage ist. Damit ist $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ nicht reflexiv.

10.05.2011, 14:25

Maaaddyy334

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Darf ich fragen wieso du schreibst (x,x) nicht Element von R1? Wir betrachten doch (x,y) oder nicht ??

Danke Schonmal smile

10.05.2011, 14:28

Mazze

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Für die Reflexivität muss $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R_1 \end{eqnarray*}$ gelten. Also schauen wir nach ob $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R_1 \end{eqnarray*}$ ist. Offensichtlich ist aber $\begin{eqnarray*} x < x \end{eqnarray*}$ stets falsch, daher gehört $\begin{eqnarray*} (x,x) \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ .

10.05.2011, 14:33

Maaaddyyx

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Ok verstanden.. Und ich Falle transitivität ? Muss doch gelten
$\begin{eqnarray*} (x,y)\in R1 und (y,z) \in R1 <br /> \end{eqnarray*}$

Wo ist hier aber das z? Bzw in deinem obigen Beispiel?

10.05.2011, 14:42

Maaaddyy

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Oder anders.. Ich würde sagen R1 ist transitiv weil (x,y) €R1 sind , da x<y eine Wahre Aussage sein kann.. Oder ?
Zur Erinnerung X1 ist |R

10.05.2011, 15:01

Mazze

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Du scheinst Dich ja ganz schön an den Bezeichnern aufzuhängen. x und y sind erstmal nur Bezeichner für Elemente aus $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ . Hier wird nirgendwo eingeschränkt dass nicht auch $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ betrachtet werden darf (für die Reflexivität müssen wir das sogar betrachten).

Zur Transitivität :

Eine Relation heißt Transitiv wenn aus $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (x,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir nehmen also an, $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_1, (y,z) \in R_1 \end{eqnarray*}$ , dann ist also $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y < z \end{eqnarray*}$ . Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ ?

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