Quotientengruppe konstruieren

10.05.2011, 13:47	Susiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientengruppe konstruieren Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} G=(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z})^=\{1,2,3,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray} H=\{1,4,16\} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe ist. Da G abelsch ist, ist H automatisch normal. Identifizieren Sie die vier Elemente der Quotientengruppe G/H und konstruieren Sie die Multiplikationstafel. Entscheiden Sie, ob G/H isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} G=(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z})^ \end{eqnarray}$ sind die multiplikativ invertierbaren Elemente in $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ . Deshalb sind auch nicht alle Zahlen von 1 bis 21 in der Gruppe sondern nur die die ein multiplikative Inverses besitzen. Ich habe bereits gezeigt, dass H eine Untergruppe von G ist durch: 1. Assoziativität: überträgt sich von G auf H, da H Teilmenge von G ist. 2. neutrales Element ist die 1 da 11=1, 14=4 und 116=16 3. Inverse Elemente: 1 ist selbstinvers. 4 ist invers zu 16 und 16 ist invers zu 4. 4. Abgeschlossenheit: habe ich nachgerechnet. Wenn man je zwei Elemente aus H multipliziert, landet man wieder in H modulo 21. Probleme habe ich mit dem 2. Teil der Aufgabe. Wie komme ich auf die Elemente der Quotientengruppe G/H? Ich weiß, dass H Normalteiler von G ist, da H Untergruppe von G ist (oben nachgewiesen) und da die linke Nebenklasse stets mit der rechten Nebenklasse übereinstimmt: gH=Hg. Die Quotientengruppe G/H ist laut Wikipedia eine Gruppe die mittels einer Standardkonstruktion aus unserer Gruppe G mit Hilfe des Normalteilers H gebildet wird. Es gilt $\begin{eqnarray} G/H:=\{gH:g \in G\} \end{eqnarray}$ Ich habe jetzt versucht auf die vier Elemente der Quotientengruppe zu kommen. Dazu habe ich $\begin{eqnarray} G/H:=\{gH:g \in G\} \end{eqnarray}$ angewendet und alle Elemente aus G mit denen aus H multipliziert. Also z.B. $\begin{eqnarray} 11=1 \qquad 14=4 \qquad 116=16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 14=4 \qquad 24=8 \qquad 216=11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 15=5 \qquad 44=16 \qquad 416=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 18=8 \qquad 54=20 \qquad 516=17 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 110=10 \qquad 84=11 \qquad 816=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \qquad \qquad \qquad ... \qquad \qquad \qquad ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 120=20 \qquad 204=17 \qquad 2016=5 \end{eqnarray}$ Dabei habe ich in jeder Spalte als Ergebnis alle Zahlen erhalten die in G enthalten sind. Damit wären aber doch alle diese Ergebniszahlen also (1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20) in G/H nach der Definition $\begin{eqnarray} G/H:=\{gH:g \in G\} \end{eqnarray}$ . In der Aufgabenstellung steht aber ja schon, dass es nur 4 Elemente sind. Also kann dieser Ansatz nicht so ganz stimmen. Wie könnte ich denn noch auf die Elemente der Quotientengruppe kommen? Oder was ist an meiner Herangehensweise falsch? Für die Untersuchung der Isomorphie habe ich mir überlegt die Anzahl der Elemente in den beiden Gruppen zu untersuchen. Wenn diese nicht übereinstimmt, sind die Gruppen nicht isomorph. Wenn sie übereinstimmt(was der Fall sein müsste, da $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ auch 4 Elemente hat, nämlich 1,2,3,4), muss man noch die Ordnungen der einzelnen Elemente untersuchen. Dazu benötige ich aber zuerst die Elemente der Quotientengruppe. Vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus. Ich freue mich über alle Tipps. Susi
10.05.2011, 13:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ein Element der Quotientengruppe ist ja beispielsweise H = {1,4,16}. Ein zweites kannst du mit 2H = {21,24,2*16} = {2,8,11} berechnen. Jetzt musst du eben alle Möglichkeiten ausprobieren. PS: Uni Stuttgart, Algebra?
10.05.2011, 15:19	Susiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die superschnelle Antwort. ja richtig, Uni Stuttgart Also ich hab die vier Elemente der Quotientengruppe jetzt raus. Das sind: $\begin{eqnarray} H=4H=16H=\{1,4,16\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2H=8H=11H=\{2,8,11\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5H=17H=20H=\{5,20,17\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10H=13H=19H=\{10,19,13\} \end{eqnarray}$ Damit habe ich die Multiplikationstafel aufgestellt: (ich hoffe man kanns erkennen) $\begin{eqnarray} \qquad \quad H \qquad 2H \qquad 5H \qquad 10H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H\qquad \quad 2H \qquad H \qquad 10H \qquad 5H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2H \qquad 2H \qquad H \qquad 10 H \qquad 5H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5H \qquad 5H \qquad 10H \qquad H \qquad 2H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10H \qquad 10H \qquad 5H \qquad 2H \qquad H \end{eqnarray}$ Berechnet habe ich die einzelnen Elemente der Multiplikationstafel z.B. im letzten Eintrag unten rechts so: $\begin{eqnarray} 10H \cdot 10H=\{10, 19,13\}\cdot \{10,19,13\}= \{16,4,1\}=H \end{eqnarray}$ Ich nehme an das müsste so passen, oder? Es kommt jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte einmal vor. Vielleicht hilft mir was für die Untersuchung auf Isomorphie... Also $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ hat 3 Elemente nämlich $\begin{eqnarray} \{1,3,4\} \end{eqnarray}$ . Man muss hier ja alle Teiler von 4 (also die zwei) rauslassen. Da G/H 4 Elemente hat, ist es grundsätzlich nicht möglich, dass die beiden Gruppen isomorph sind. Für die Isomorphie ist ja eine bijektive Abbildung nötig und daraus ergibt sich, dass zwei isomorphie Gruppen gleich viele Elemente haben müssen. Ist das richtig so? Noch eine kleine Zusatzfrage: Wenn die beiden Gruppen gleich viele Elemente hätten, würde ich über das Ordnungsargument gehen, ungefähr so: In G/H gilt: $\begin{eqnarray} H^2=H \Rightarrow n=2 \end{eqnarray}$ . Die Ordnung von H ist 2. $\begin{eqnarray} (2H)^3=2H \Rightarrow n=3 \end{eqnarray}$ . Die Ordnugn von 2H ist 3. $\begin{eqnarray} (5H)^3=5H \Rightarrow n=3 \end{eqnarray}$ . Die Ordnung von 5H ist 3. $\begin{eqnarray} (10H)^3=10H \Rightarrow n=3 \end{eqnarray*}$ . Die Ordnung von 10 H ist 3. dies dann analog für die andere Gruppe und dann die Ordnungen vergleichen.
10.05.2011, 16:02	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sind ja mal richtig viele gravierenden Fehler drin. Überleg dir einmal was das neutrale Element in G/H ist und wie Ordnung definiert ist. Außerdem hat Z/4Z 4 Elemente, nämlich die Nebenklassen 0,1,2,3 Es gibt übrigens nicht isomorphe Gruppe in denen so ein Ordnungsargument nicht mehr klappt
10.05.2011, 18:29	Susiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
oh Mist... das mit der Ordnung hab ich echt ziemlich falsch gemacht. Die Ordnung ist der kleinste Exponent sodass Gruppenelement hoch Gruppenordnung = neutrales Element (und nicht das Element wieder selbst, wie ich es hatte). Das neutrale Element ist nach der Multiplikationstafel H, denn 2HH=H2H=H und analog für die anderen Elemente in G/H Ja, Z/4Z hat 4 Elemente. Ich hatte in meinem Aufschrieb gefunden, dass Z/4Z nur 3 Elemente habe, aber da war (Z/4Z)* gemeint, was die invertierbaren Elemente sind und dort fallen alle Teiler von -in dem Fall - 4 raus, was ja die 2 gewesen wäre. Ich hab mich auch schon gewundert... Also haben die beiden Gruppen gleich viele Elemente und könnten isomorph sein. Ich würde jetzt so argumentieren: Z/4Z ist zyklisch. G/H müsste also auch zyklisch sein, sodass die Gruppen isomorph sein könnten. Um herauszufinden, ob G/H zyklisch ist, reicht es zu überprüfen, ob G zyklisch ist. Denn wenn G zyklisch ist, sind auch die Untergruppen und Faktorgruppen zyklisch. (Z/nZ)* ist genau dann zyklisch, wenn n=2, 4, $\begin{eqnarray} p^k \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2p^k \end{eqnarray}$ mit p prim und p>2, $\begin{eqnarray} k \ in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Dies ist für n=21 aber alles nicht der Fall. Daher ist G nicht zyklisch. Es folgt dass G/H nicht zyklisch ist, und damit sind G/H und Z/4Z nicht isomorph. Was meinst du dazu?
11.05.2011, 12:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist falsch. Die S5 ist nicht zyklisch, aber S5/A5 ist eine Z/2Z also zyklisch. Das heißt nur die eine Richtung gilt, aber die Richtung die du benutzen willst eben nicht. Aber du kannst ja anhand der Gruppentafel feststellen ob die Gruppe zyklisch ist.
Anzeige

12.09.2011, 14:33	BrigitteB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientengruppe konstruieren Warum kommt in der Einheitenmengen (in der Angabe) die 3 vor?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »