Äquivalenzrelationen

10.05.2011, 14:13

tnightlife

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Äquivalenzrelationen

Meine Frage:
Hallo, ich habe die Aufgabe als bild hochgeladen.

also folgendes, ich weiß welche bedingungen eine äquivalenzrelation erfüllen muss, um eine zu sein, doch das ist nur die eine seite..

wie beweist man das, ich weiß einfach nicht wie ich bei der aufgabe a) ansetzen soll. wie geht man dabei vor?

Meine Ideen:
ich muss die drei regeln für die äquivalenzrelation überprüfen, ich weiß aber net wie man damit anfängt, worauf es dabei ankommt

10.05.2011, 14:14

Mazze

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Fangen wir mit der Reflexivität an. Wie ist diese definiert?

10.05.2011, 14:53

tnightlife

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das ist ja mein problem, ich weiß nicht wie ich ansetzen soll...

reflexivität: jedes element x steht zu sich selbst in relation...

joo, aber wo ist der zusammenhang zu x - y element ZZ

allquantor x element T : (x , x) element T

10.05.2011, 15:03

Mazze

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Du musst also überprüfen ob

$\begin{eqnarray*} (x,x) \in T \end{eqnarray*}$

ist. Es ist $\begin{eqnarray*} (x,x) \in T \Leftrightarrow x - x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

nach Definition von T. So jetzt die Frage, ist x - x eine ganze Zahl ?

10.05.2011, 15:12

tnightlife

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warum wird aus dem x - y element ZZ ein x - x element ZZ?

wie müsste es denn dann bei der transitivität aussehen? x y ?z?

ich verstehe einfach die zusammenhänge net, gibt auch keine seite die das anschaulich erklärt

10.05.2011, 15:18

Mazze

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Zitat:

achso also bedeutet der Ausdruck Relation T ist = { (x, y) ist element von R² wenn gilt x - x element ZZ } also muss x-y element ZZ sein damit (x, y) element R² gilt und somit die Relationsbedingung

Ach, Du hattest schon Schwierigkeiten mit dem Ausdruck der Menge. Folgendermaßen wird der Mengenausdruck

$\begin{eqnarray*} T = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} | x - y \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

gelesen. Links neben dem Strich | steht die Grundmenge, also die Menge aus denen wir die Elemente betrachten. Rechts neben dem Strich | stehen die Eigenschaften, die diese Elemente erfüllen müssen, damit sie zur Menge gehören. Beispiel :

$\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{Q} | x > 1\} \end{eqnarray*}$

Wäre die Menge der rationalen Zahlen, die größer als 1 sind. Sprich,

$\begin{eqnarray*} T = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} | x - y \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

ist die Menge der reellen Tupel (x,y) , so dass x - y eine ganze Zahl ist.

Zitat:

warum wird aus dem x - y ein x - x ?

Weil wir die Reflexivität betrachten. Wir haben die die Tupel (x,y), wo steht geschrieben, dass x ungleich y sein soll? x und y sind hier nur Bezeichner für reelle Zahlen, es wird nirgendwo erwähnt, dass diese ungleich sein müssen. Das würde man dann dazu schreiben. Wenn ich beispielsweise x + y = 2 lösen möchte, wäre x = y = 1 doch auch eine Lösung.

Für die Reflexivität muss also $\begin{eqnarray*} (x,x) \in T \end{eqnarray*}$ gelten, und da $\begin{eqnarray*} x - x = 0 \end{eqnarray*}$ ist, und 0 eine ganze Zahl ist, ist also $\begin{eqnarray*} (x,x) \in T \end{eqnarray*}$ und damit ist T reflexiv.

Zitat:

wie müsste es denn dann bei der transitivität aussehen? x y ?z?

Schreib doch mal genau hin was Transitivität für diese Relation bedeutet!

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10.05.2011, 15:34

tnightlife

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gut, das mit der reflexivität scheine ich einigermaßen zu verstehen...

die symmetrie sagt ja..

allquantor x, y element T : (x, y) element T => (y, x) element T

(x, y) element T <=> (y, x) element T

x - y element ZZ <=> y - x element ZZ

egal ob ich 100 - 50 rechne oder 50 - 100 (als beispiel), ergibt die rechnung immer eine ganze zahl

transivität:

allquantor x, y, z element T : ( (x, y) element T und (y, z) element T ) <=>
(x, z) element T

wenn ( x - y element ZZ und x - z element ZZ ) ist dann kann x - z auch nur element ZZ sein

ist das so richtig erklärt, also formal richtig??

ich denke inhaltlich habe ich es geschnallt.

10.05.2011, 15:40

Mazze

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Zitat:

egal ob ich 100 - 50 rechne oder 50 - 100 (als beispiel), ergibt die rechnung immer eine ganze zahl

Ein Beispiel ist aber kein Beweis. Aber so ähnlich kannst Du argumentieren. Nehmen wir also $\begin{eqnarray*} (x,y) \in T \end{eqnarray*}$ an, dann ist zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} (y,x) \in T \end{eqnarray*}$ ist!

Zitat:

allquantor x, y, z element T : ( (x, y) element T und (y, z) element T ) <=> (x, z) element T

Der Äquivalenzpfeil ist falsch . Richtig :

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in T , (y,z) \in T \Rightarrow (x,z) \in T \end{eqnarray*}$

Zitat:

wenn ( x - y element ZZ und x - z element ZZ ) ist

Du meinst sicherlich $\begin{eqnarray*} x - y \in \mathbb{Z}, y - z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Zitat:

dann kann x - z auch nur element ZZ sein

Das wäre zu beweisen!

10.05.2011, 15:54

tnightlife

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ok super ich bin einen meilenstein weiter, (ja bei der einen sache habe ich mich verschrieben, es heißt natürlich y - z und nicht x -z)

du sagst immer, es wäre zu beweisen, aber wie? das alles war ja nur schreibtarbeit, aber wo muss ich nun gehirnschmalz einsetzen? wie wird sowas bewiesen..

10.05.2011, 15:56

Mazze

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Die 2 Beweise sind so leicht dass ich fast keine Tips geben kann ohne sie zu lösen.

Symmetrie: Wenn $\begin{eqnarray*} x - y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es also eine ganze Zahl a mit $\begin{eqnarray*} x - y = a \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} y - x \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2011, 16:12

tnightlife

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huhh dann ist es wohl die ganze zahl -a

achsooo läuft das... in dem beispiel.. ;-) ob ich das nun in anderen aufgaben auch umsetzen kann ist eine andere baustelle

10.05.2011, 16:17

Mazze

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Zitat:

huhh dann ist es wohl die ganze zahl -a

Das ist zwar richtig, aber wie hast Du das gezeigt?

10.05.2011, 16:26

tnightlife

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(x, y) element T : x - y = a

a element ZZ

(y, x) element T : y - x = -a

-aelemen ZZ

hast recht, mir ist wichtig das es formal auch stimmt, wie schaut es aus??

10.05.2011, 16:30

Mazze

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Du hast einfach nur hingeschrieben dass $\begin{eqnarray*} y - x = -a \end{eqnarray*}$ ist, aber nirgendwo bewiesen. So gehts :

$\begin{eqnarray*} (y - x) = -1*(x - y) = -1 * a = -a \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

daher ist T symmetrisch.

10.05.2011, 16:34

tnightlife

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achso ok ich muss die ganze rechnung von dem einen zum anderen machen, wie sieht es aus mit dem a

du hast es doch einfach aus dem ärmel geschmissen, also kann ich genausogut auch einfach f nehmen und dann sagen u element ZZ damit man auch weiß was ich damit meine

10.05.2011, 16:37

Mazze

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Zitat:

du hast es doch einfach aus dem ärmel geschmissen

Nö hab ich nicht. Ich weiß dass $\begin{eqnarray*} x - y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt, es gibt also eine ganze Zahl, die gleich der Differenz x - y ist. Ich habe diese Zahl dann a genannt. Ich hätte sie natürlich auch b oder Automobilclub nennen können , oder f oder u, aber ich hab mich für a entschieden.

10.05.2011, 16:41

tnightlife

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vielen dank für deine hilfe, das hat mir sehr geholfen, jetzt kommen da noch die äquivalenzklassen, da werde ich mich mal einwenig einlesen

vielen dank

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