Invertierbarkeit von p(A) |
| 10.05.2011, 14:16 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Invertierbarkeit von p(A) Sei A eine nxn Matrix aus dem Körper K. Das charakteristische Polynom und ein Weiteres welche teilerfremd sind aus dem Körper K[s]. Zeigen sie: Dann ist p(A) invertierbar. Meine Ideen: ich denke mal das mir das Lemma von Bezout weiter helfen würde oder??? Wenn ich eine Matrix in ein Polynom einseetze kommt dann wieder eine Matrix raus, die man invertieren könnte?? Es kann doch sein, dass das Polynom ein +3 beispielsweise hat, was ich dann damit beim einsetzen?? Kommt dies mit Multiplikation der Einheitsmatrix dazu? Wegen +3 = 3X^0?? |
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| 10.05.2011, 14:28 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieses weitere Polynom ist dann p, ja? Wäre schön, wenn du die Aufgabenstellung mit etwas mehr Sorgfalt abschreibst. In der Mathematik kann schließlich jedes fehlerhafte bzw. fehlende Symbol nicht immer so rekonstruiert werden. 
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| 10.05.2011, 14:35 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist A aus K^nxn. das char.Polynom und p aus K[s] sind teilerfremd. zeigen sie p(A) ist invertierbar! Mehr steht leider nicht dabei! |
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| 10.05.2011, 14:50 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab mal etwas rumprobiert: Lemma von Bezout: a,b element K[s| teilerfremd, dann gibt es Polynome mit: pa + qb = 1 aus unserem Skript: Anwendung von Lemma von Bezout: sind a,b element K[s] teilerfremd mit y = ab dann gilt: ker (y(f))= ker (a(f)) + ker (b(f)) mit f element End(V) , die Summe ist direkt! Für Matrizen wäre ja äquivalent: ker(y(A)=ker(a(A)) + ker(b(A)) ............................................. Da in der Aufgabe das char. Polynom, ich nenne es mal X und p teilerfremd sind kommt beim einsetzen folgendes raus: ker(y(A)) = ker(X(A)) + ker(p(A)) | - ker(X(A)) ker(y(A)) - ker (X(A)) = ker(p(A)) wenn ich jetzt zeigen kann, dass die linke Seite gleich Null ist, dann wäre ich fertig, denn es gilt ja immer: ker(A) = {0} => A ist invertierbar Frage: Was ist mein y(A) auf der linken Seite, das brauche ich wohl um zu zeigen, dass die Seite Null gibt!!! danke |
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| 10.05.2011, 14:55 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anhang: ker (X(A)) ist ja V, da nach Cayley Hamilton X(A) die Nullabbildung ist, und der Kern dieser gleich V ist. Es bleibt zu zeigen, dass ker (Y(A)) auch gleich V ist, dann würe die Null resultieren! Und ker (p(A)) wäre Null und p(A) damit invertierbar... |
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| 10.05.2011, 15:00 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich weiß, dass y = Xp gilt. Was ist mit ker (y(A)) ist es wirklich = V??? Wie kann ich das zeigen?? |
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| 10.05.2011, 15:25 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wirklich keiner einen Rat?? |
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| 10.05.2011, 15:46 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich bin selber drauf gekommen, aber vielleicht kann mir jemand sagen, ob es stimmt?? Also, dir Summe ker(y(A)) = ker(X(A)) + ker(p(A)) ist direkt, für direkte Summen gilt immer: V = U + W, sei ker(X(A)) = U und ker(p(A)) = W, dann muss ker (y(A)) = V sein. dann ist ker(p(A)) gleich Null und p(A) invertierbar!!! |
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