Man entwickle die Polynom-Funktion

10.05.2011, 14:51

27min

Man entwickle die Polynom-Funktion

Meine Frage:
Habe leider noch so eine kreative Aufgabenstellung ohne weiterführende Erklärung:

Man entwickle die Polynom-Funktion:
a) f(x)=x^2 an der Stelle x0=1
b) f(x)=x^4+8x^3+23x^2+28x an der Stelle x0=-2
c) f(x)=x^5-1 an der Stelle x0=1

Generell geht es in dem Kapitel um Nullstellen, Mittelwertsatz und Reihenentwicklungen.

Meine Ideen:
Leider ist die Fragestellung für mich nicht nachvollziehbar. Ich könnte mir lediglich das Einsetzen von x0 vorstellen um den Wert von f(x0) zu ermitteln. Das erscheint mir aber etwas zu einfach. Abgesehen davon hatten wir x0 bisher immer verwendet um von x0 ausgehend einen Intervall zu wählen den wir weiter (auf Stetigkeit oder Steigung bspw) untersucht haben.

10.05.2011, 14:54

tigerbine

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Geht es nicht um Taylorentwicklung? Bei Polynomen eine dankbare Rechnung, oder?

10.05.2011, 18:01

Leopold

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Bei a) geht es darum, $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ als Polynom in $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ zu schreiben, also eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c \end{eqnarray*}$

zu finden. Setze dazu $\begin{eqnarray*} t=x-1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=t+1 \end{eqnarray*}$ . Dann bekommst du

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(t+1) = (t+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das ausquadrierst und für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, hast du das Gewünschte.

Und bei b) und c) kommst du mit entsprechenden Substitutionen ans Ziel.

10.05.2011, 22:06

27min

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Danke für eure Antwort. Dass es um die Taylor Reihe geht hielt ich insofern für unwahrscheinlich, weil dann nicht x0=1 sondern einfach x=1 gegeben wäre. Zumindest soweit ich das verstanden habe.

Ich habe das jetzt mal so gemacht wie du, Leopold, das gesagt hast.

Allerdings sehe ich den Sinn dieser Aktion noch nicht ganz. Mache ich jetzt noch etwas damit? Für b) kommt mir heraus

f(x)=f(t-2)0 (t-2)^4+8(t-2)^3+23(t-2)^2+28(t-2)

und für c)

f(x) = f(t+1) = (t+1)^5 - 1

Aber was ich jetzt gemacht habe ist schlicht gesagt dass der y Wert einer gegeben Funktion an einer gegebenen Stelle x gleich dem y Wert der selben Funktion an der (gleichen) Stelle t-1 ist. Was habe ich jetzt entwickelt?

10.05.2011, 22:10

tigerbine

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Zitat:

Original von 27min
Danke für eure Antwort. Dass es um die Taylor Reihe geht hielt ich insofern für unwahrscheinlich, weil dann nicht x0=1 sondern einfach x=1 gegeben wäre. Zumindest soweit ich das verstanden habe.

Diese Rückmeldung verstehe ich nicht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

Soll bei $\begin{eqnarray*} x0=1 \end{eqnarray*}$ entwickelt werden. Und das geht sehr schön mit Taylor und für doch genau auf die Darstellung, die Leopold gepostet hat (ggf. nur zunächst in anderer Reihenfolge). Man hätte halt direkt eine Bestimmungsformel für a,b,c

10.05.2011, 22:45

27min

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Ich habe das so gemeint. Wenn es um die Taylorreihe ginge hätte die Angabe gelautet bestimme die Taylorreihe für f(1)=x^2 und dann hätte ich schreiben sollen

f(1)=1
f'(1)=2
f''(1)=2
f'''(1)=0
...
dh Taylorreihe wäre 1,2,2,0,0,0,0,0,0,0 oder hab ich die Taylorreihe falsch verstanden. Oder wir reden eh von dem Selben nur ich hab noch nicht verstanden was ich überhaupt durch x=t-1 gemacht habe.

10.05.2011, 22:48

tigerbine

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Na, die 0er kann man ja weglassen.

$\begin{eqnarray*} T_{f,1}(x)&&=f(1) + \frac{f'(1)}{1!}(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2<br /> &&=1+2(x-1)+(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Und damit hat man die gewünschte Entwicklung.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(t+1) = (t+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=t^2+2t+1=(x-1)^2+2(x-1)+1 \end{eqnarray*}$

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