Extremwertprobleme: maximales Volumen bei minimalem Materialverbrauch - Seite 2

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sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist vollkommen richtig. Freude

Und jetzt machen wir daraus die Funktion der Quadratfläche und suchen das Minimum:

A(b) = (15 - b)² + b²


PS: Durch Drücken von AltGr 2 erhältst du ² Augenzwinkern
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe !
also wäre die Bedingung A´(b)=0 und A´´(b) > 0 wegen minimum
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude

Nun rechne b mal aus, danach dann a.

smile
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Ableitung zu bilden muss ich die Klammer auflösen.
Wenn ich das tue komme ich an Folgenden Punkt : A(b)= 15²-b²+b²
=> A(b)=225
Das kann ja eigentlich nicht sein .
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss die binomischen Formeln nicht... Augenzwinkern
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt du hast recht !
Also : A(b)=15²-30b+b²-b² => A(b)=225-30b => A'(b)=-30
Seltsam.
 
 
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ah mist. Vorzeichenfehler.
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Also A(b)=225-30b+2b² => A'(b)=-30+4b => A''(b)=4

A'(b)=0
0=-30+4b
b=7,5

A''(b)=4 >0 => Minimum

U=2a+2b
30=2a+15
a=7,5

=> Die Diagonale ist am kürzesten wenn das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge a=7,5cm ist.
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Du warst mir eine super große Hilfe !!!
Viele Dank !
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Freude

Willst du noch die andere Aufgabe in Angriff nehmen?


Du kannst übrigens deine Beiträge editieren: Klicke auf edit und du kannst in deinem Beitrag Fehler verbessern, allerdings nur jeweils bis 15 min nach dem Erstellen.
So vermeidest du Mehrfachbeiträge hintereinander, die nicht so gerne gesehen sind. Augenzwinkern
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gern !
Wenn du genügend Zeit und Lust hast!

(Danke für die Tips!)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Hier noch mal der Text:
Zitat:
Eine Zündholzschachtel soll 5cm lang sein und 45cm^3 Inhalt haben.
Bei welcher Breite und Höhe braucht man zu Herstellung am wenigsten
Material ?
Hast du Ideen?smile
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich brauche auf jeden fall schonmal die Formel für das Volaumen V=abc und die für Oberfläche O=a²+4ac.
Desweiteren weiss ich, dass ich für die Oberflächenformel später das Extrema suche, also muss ich in der Volumenformel versuchen so wenig Variablen wie möglich zu haben ... mein Vorschlag : 45=5ac => c=9:a. Das dürfte dann die NB sein oder ?
Um dann die Hauptbedingung auf zu stellen müsste ich ja dann c ind die Oberflächenformel einsetzen oder ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Also, du hast b = 5cm eingesetzt, deine Umformung der NB ist richtig: c=9:a Freude

Aber die HB gefällt mir nicht. Wie lautet die Oberflächenformel für einen Quader?
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mist.

O=2(ac+ab+bc)

O=2ac+2bc+2ab

=> wenn c=9:a

O=18+18b:a+2ab

Jedoch habe ich nun immernoch zuviele Variablen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich nicht, du hast nur nicht systematisch alles aufgeschrieben.

Es galt: b = 5 cm. Augenzwinkern
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsache !

Also lautet die Gleichung O(a)=18+90:a+10a .
Nun muss ich doch die Ableitungen bilden und O''(a) >0 ?!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Was war 9:a nochmal abgeleitet ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

9:a = 9*a^-1 Augenzwinkern

Kannst du es jetzt ableiten?
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Also -9 ?

Dann wäre O'(a)=1
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Ableitungsregeln solltest du schon kennen... Augenzwinkern

Überlege noch mal.

smile
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok stimmt.
Weil 1:x -> -1:x² wären müsste dann 90:x -> -90:x² sein ... die 2. Ableitung müsste in folge Dessen 90:x³ sein oder ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Eher 180/a³ Augenzwinkern

edit: Oder 180/x³ smile
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Supi.
Dann also :
O(a)=18+90:a+10a
O'(a)=-90:a²+10
O''(a)=180:a³

O'(a)=0
0=-90:a²+10
10=90:a²
10a²=90
a²=9
a=3
[a=-3]

O''(3)=20 >0 => minimal
[O''(-3)=-20]

V=abc
45=15c
c=3

=>a sowie c müssen 3cm lang sein, damit die Streichholzschachtel minimalen Materialverbrauch leistet.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, sehr schön. Freude
Mia_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss garnicht wie ich dir danken kann !!

Gott

Vielen Dank !!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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