Extremwertprobleme: maximales Volumen bei minimalem Materialverbrauch - Seite 2 |
10.05.2011, 20:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt machen wir daraus die Funktion der Quadratfläche und suchen das Minimum: A(b) = (15 - b)² + b² PS: Durch Drücken von AltGr 2 erhältst du ² |
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10.05.2011, 20:41 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ich verstehe ! also wäre die Bedingung A´(b)=0 und A´´(b) > 0 wegen minimum |
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10.05.2011, 20:42 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Nun rechne b mal aus, danach dann a. |
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10.05.2011, 20:45 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um die Ableitung zu bilden muss ich die Klammer auflösen. Wenn ich das tue komme ich an Folgenden Punkt : A(b)= 15²-b²+b² => A(b)=225 Das kann ja eigentlich nicht sein . |
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10.05.2011, 20:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vergiss die binomischen Formeln nicht... |
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10.05.2011, 20:51 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt du hast recht ! Also : A(b)=15²-30b+b²-b² => A(b)=225-30b => A'(b)=-30 Seltsam. |
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10.05.2011, 20:52 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah mist. Vorzeichenfehler. |
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10.05.2011, 20:59 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also A(b)=225-30b+2b² => A'(b)=-30+4b => A''(b)=4 A'(b)=0 0=-30+4b b=7,5 A''(b)=4 >0 => Minimum U=2a+2b 30=2a+15 a=7,5 => Die Diagonale ist am kürzesten wenn das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge a=7,5cm ist. |
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10.05.2011, 21:00 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du warst mir eine super große Hilfe !!! Viele Dank ! |
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10.05.2011, 21:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schön. Willst du noch die andere Aufgabe in Angriff nehmen? Du kannst übrigens deine Beiträge editieren: Klicke auf edit und du kannst in deinem Beitrag Fehler verbessern, allerdings nur jeweils bis 15 min nach dem Erstellen. So vermeidest du Mehrfachbeiträge hintereinander, die nicht so gerne gesehen sind. |
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10.05.2011, 21:03 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gern ! Wenn du genügend Zeit und Lust hast! (Danke für die Tips!) |
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10.05.2011, 21:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Hier noch mal der Text:
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10.05.2011, 21:10 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich brauche auf jeden fall schonmal die Formel für das Volaumen V=abc und die für Oberfläche O=a²+4ac. Desweiteren weiss ich, dass ich für die Oberflächenformel später das Extrema suche, also muss ich in der Volumenformel versuchen so wenig Variablen wie möglich zu haben ... mein Vorschlag : 45=5ac => c=9:a. Das dürfte dann die NB sein oder ? Um dann die Hauptbedingung auf zu stellen müsste ich ja dann c ind die Oberflächenformel einsetzen oder ? |
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10.05.2011, 21:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, du hast b = 5cm eingesetzt, deine Umformung der NB ist richtig: c=9:a Aber die HB gefällt mir nicht. Wie lautet die Oberflächenformel für einen Quader? |
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10.05.2011, 21:21 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh mist. O=2(ac+ab+bc) O=2ac+2bc+2ab => wenn c=9:a O=18+18b:a+2ab Jedoch habe ich nun immernoch zuviele Variablen. |
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10.05.2011, 21:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich nicht, du hast nur nicht systematisch alles aufgeschrieben. Es galt: b = 5 cm. |
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10.05.2011, 21:29 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tatsache ! Also lautet die Gleichung O(a)=18+90:a+10a . Nun muss ich doch die Ableitungen bilden und O''(a) >0 ?! |
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10.05.2011, 21:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. |
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10.05.2011, 21:42 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was war 9:a nochmal abgeleitet ? |
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10.05.2011, 21:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
9:a = 9*a^-1 Kannst du es jetzt ableiten? |
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10.05.2011, 21:45 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also -9 ? Dann wäre O'(a)=1 |
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10.05.2011, 21:49 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, die Ableitungsregeln solltest du schon kennen... Überlege noch mal. |
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10.05.2011, 21:54 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok stimmt. Weil 1:x -> -1:x² wären müsste dann 90:x -> -90:x² sein ... die 2. Ableitung müsste in folge Dessen 90:x³ sein oder ? |
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10.05.2011, 21:59 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eher 180/a³ edit: Oder 180/x³ |
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10.05.2011, 22:09 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Supi. Dann also : O(a)=18+90:a+10a O'(a)=-90:a²+10 O''(a)=180:a³ O'(a)=0 0=-90:a²+10 10=90:a² 10a²=90 a²=9 a=3 [a=-3] O''(3)=20 >0 => minimal [O''(-3)=-20] V=abc 45=15c c=3 =>a sowie c müssen 3cm lang sein, damit die Streichholzschachtel minimalen Materialverbrauch leistet. |
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10.05.2011, 22:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles richtig, sehr schön. |
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10.05.2011, 22:12 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiss garnicht wie ich dir danken kann !! Vielen Dank !! |
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10.05.2011, 22:22 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen. |
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