Nutzenmaximierung (VWL)

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10.05.2011, 18:40	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutzenmaximierung (VWL) Hallo, ich habe folgende Nutzenfunktion gegeben: $\begin{eqnarray} u(x_1,x_2) = x_1^2+x_1x_2 \end{eqnarray}$ Ich soll nun die Nachfrage für beliebige Preise p1,p2 und ein beliebiges Budget m bestimmen und dabei auch auf Randlösungen achten (hier liegt mein Problem!). Ich bin da zunächst mit dem Ansatz rangegangen, dass die Grenzrate der Substitution im optimalen Bündel dem Preisverhältnis entsprechen muss und habe damit und der Budgetbeschränkung für x1 und x2 folgendes herausbekommen: $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{m}{2p_1-2p_2}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{p1}{p2}x_1-2x_1 = x_1(\frac{p1}{p2}-2) \end{eqnarray}$ So weit so gut. Jetzt habe ich das Problem, dass $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ abhängt. Theoretisch könnte ich doch $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ in die Lösung für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ einsetzen oder? Dann würde $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ abhängen, richtig? Die Frage ist dann aber, wie ich mit Randlösungen umgehe. In dieser ausgeklammerten Form sehe ich doch, dass von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ nichts konsumiert wird, wenn auch von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ nichts konsumiert wird, d.h. $\begin{eqnarray} x_1 = 0 => x_2 = 0 \end{eqnarray}$ . Hat das Aussagekraft, was die möglichen Randlösungen angeht? Stehe gerade echt auf dem Schlauch und würde mich über jede Hilfe freuen!
10.05.2011, 18:57	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist die Nebenbedingung bei einer Nutzenmaximierung: Konsum von Gut 1 und Gut 2 soll dem Budget m entsprechen. Also stelle die Budgetrestriktion auf, und setzte da $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ ein. Dann nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ auflösen... Versuch erstmal selbst
10.05.2011, 19:06	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich habe mal versucht, $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ in die Budgetgleichung einzusetzen und dann nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ aufzulösen. Ich komme dann auf: $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{m-p_1m}{2p_1^2-5p_1p_2+2p_2^2} \end{eqnarray}$ Jetzt hängt $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ nur noch von $\begin{eqnarray} p_1,p_2,m \end{eqnarray*}$ ab. So weit so gut. Bringt mir das jetzt auch was in Bezug auf mögliche Randlösungen?
10.05.2011, 19:13	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade: $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ war vorher deutlich einfacher. Insofern sehe ich nicht, was mir das gebracht hat. Wenn ich die beiden Lösungen in die Budgetgerade einsetze, verschwindet $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , also bringt mir das für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ doch auch nicht viel, oder?
10.05.2011, 19:35	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Hilfe der Budgetrestriktion kannst du $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bestimmen. Das war ja auch gesucht (Nachfrage: $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ ) Randlösungen heißt doch, wenn $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ was bekommst du aus der Budgetrestriktion für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ? Und genau so für $\begin{eqnarray} x_2=0 \rightarrow x_1=? \end{eqnarray}$
10.05.2011, 19:39	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und dann natürlich noch den Nutzen für die Randlösungen bestimmen, d.h.: $\begin{eqnarray} u(0,x_2); u(x_1,0) \end{eqnarray}$ . Er soll dann kleiner sein, als der optimale Nutzen $\begin{eqnarray} u(x_1^,x_2^) \end{eqnarray}$
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10.05.2011, 19:58	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich habe jetzt für $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{m}{2p1-2p2} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x2 = \frac{m-p_1m}{2p_1p_2-2p_2^2} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich ja $\begin{eqnarray} x_1(p1,p2,m) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2(p1,p2,m) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ setze, dann ist der Nutzen doch gegeben durch $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{m-p_1m}{2p_1p_2-2p_2^2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich $\begin{eqnarray} x_2 = 0 \end{eqnarray}$ setze, habe ich für den Nutzen $\begin{eqnarray} x_1^2 = (\frac{m}{2p_1-2p_2})^2 \end{eqnarray}$ richtig? Ich glaube ich soll auch bestimmen, wann es Randlösungen gibt. Wie würde ich das machen? Einfach gucken, wann $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ Null wird? edit: Einmal ) durch } ersetzt und somit die Formel lesbar gemacht. LG sulo
10.05.2011, 20:03	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ was du bestimmt hast ist die optimale Lösung, welche irgendwo auf der Budgetgeraden liegt. Randlösungen sind einfach die Punkte der Budgetgeraden auf der $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ Achse (Schnittpunkte der Budgetgeraden einmal mit der $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und einmal mit der $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ Achse)
10.05.2011, 20:03	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nutzen bei $\begin{eqnarray} x_2 = 0 \end{eqnarray}$ wäre dann ja $\begin{eqnarray} x_1^2 = (\frac{m}{2p_1-2p_2})^2 \end{eqnarray}$
10.05.2011, 20:05	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, also m/p1 bzw. m/p2? Wie bestimme ich nun, wann ich eine Randlösung habe?
10.05.2011, 20:09	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade: Ich habe ja nun die Nachfrage bestimmt. Also kann ich einfach meine Gleichungen für x1 und x2 angeben, richtig? Wie bestimme ich nun, wann ich eine Randlösung habe? Muss ich einfach schauen, wann x1 bzw. x2 = 0 werden?
10.05.2011, 20:30	MSTVAre	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau richtig zur ersten Frage. Randlösungen, d.h. Lösungen liegen am Rand der Budgetgeraden. D.h. an den Koordinatenachsen, aslo einmal ist x_1 Null und einmal ist x_2 Null.
10.05.2011, 20:51	chell	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich nun anhand meiner Lösungen für x1 und x2 erkennen, unter welchen Bedingungen eine Randlösung vorliegt?

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