Wurzel ableiten

10.05.2011, 19:07

miss luci

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Wurzel ableiten

Hallo zusammen, bin in Mathe nicht mehr ganz so fit.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(1+\sqrt{x} )^{2} \end{eqnarray*}$ ist meine Stammfunktion

Ich suche die erste und die zweite Ableitung und bin mir nicht sicher ob mein Ergebnis richtig ist.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(1+\sqrt{x} )\frac{1}{2} x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Danke im Vorraus!

10.05.2011, 19:12

MSTVAre

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Was macht man beim Ableiten mit der Hochzahl bei einer Potenzfunktion?

10.05.2011, 19:13

Colt

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Äußere Ableitung ist richtig, aber die innere Ableitung ist falsch.

Wie kann man wurzel x denn noch schreiben?

10.05.2011, 19:14

miss luci

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RE: Wurzel ableiten
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(1+\sqrt{x} )\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

wäre meine Alternativlösung...

10.05.2011, 19:15

Colt

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Das sieht schon besser aus. Freude

Freude

Kannst aber noch zusammenfassen^^

Jetzt noch die 2. Ableitung.

10.05.2011, 19:15

MSTVAre

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Freude

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10.05.2011, 19:18

miss luci

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ich mache mir grad gedanken was jetzt zur inneren und was zu äusseren funktion gehört...

10.05.2011, 19:19

Colt

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot (1+ \sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

ist die äußere ableitung und der rest die innere.

10.05.2011, 19:23

miss luci

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heisst die äussere ableitung bleibt immer dieselbe? oder steh ich grad auf schlauch?

habe meine erste Ableitug grad gekürzt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(1+\sqrt{x} )\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } =(1+\sqrt{x} )x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 19:26

Colt

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Ich verstehe nicht ganz.

Deine äußere Ableitung hat die Form z^2. Dieses abgeleitet, wäre ja auch 2*z.
Für z kannst du jetzt deine innere funktion hinschreiben. du hast richtig gekürzt.

10.05.2011, 19:32

miss luci

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{2} (1+\sqrt{x} )x^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$

meinte damit, ob mir $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$ weiterhin erhalten bleibt

10.05.2011, 19:33

Colt

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Es wird dir erhalten bleiben aber anders als du es jetzt denkst. Für die 2. Ableitung reicht die Kettenregel nicht mehr aus. Welche kennst du noch?

10.05.2011, 19:39

miss luci

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Vom Namen her fällt mir noch die Potenzregel ein... aber das ist alles schon soo lange her...

neue Lösung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } )x^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$

darf ich das auf $\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{4} x^{-2} \end{eqnarray*}$ kürzen?

10.05.2011, 19:40

Colt

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Du musst Produktregel anwenden. Oder wenn du die Formel noch anders hinschreibst auch Quotientenregel.

10.05.2011, 19:47

miss luci

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hab leider absolut keinen plan...

10.05.2011, 19:50

Colt

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sagt dir u´v+uv´ etwas?

10.05.2011, 19:56

miss luci

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nein... nicht in dieser konstellation

$\begin{eqnarray*} u(v)=v^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(v)=\frac{-1}{2} v^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$

bin ich da auf dem richtigen weg?

$\begin{eqnarray*} v(x)=(1+\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 20:04

Colt

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in welcher denn dann?

10.05.2011, 20:21

miss luci

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u'v+v'u

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-1}{2} (1+\sqrt{x} )^{\frac{-3}{2} } +(\frac{-1}{2} x^{\frac{-1}{2} } )(1+\sqrt{x} )^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 20:28

Colt

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Nimm
u= $\begin{eqnarray*} (1+ \sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$
v= $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 20:35

miss luci

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also aus der stammfunktion?

bzw. gehörte u bei mir zur äusseren und v zur inneren funktion...

10.05.2011, 20:38

Colt

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Nein. Das hab ich aus der ersten Ableitung entnommen.

Das hast du zwei Funktionen (u(x) und v(x)) die multipliziert werden.

Daher muss hier die Produktregel angewandt werden.

10.05.2011, 20:43

miss luci

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mich verwirrt grad wahrscheinlich nur, dass ich u und v andersherum zugeordnet habe (schon vor der 1.Ableitung)

10.05.2011, 20:45

Colt

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Die Reihenfolge ist egal. Aber u und v sollten schon aus der 1. Ableitung kommen.

10.05.2011, 20:48

miss luci

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im endeffekt lande ich aber bei

$\begin{eqnarray*} f''(x)=(\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } )(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } )(x^{\frac{-1}{2} } ) =(\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } )(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{4} } ) \end{eqnarray*}$

oder?

10.05.2011, 20:59

Colt

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Jo ist soweit richtig, nur nicht ganz richtig zusammengefasst. Was passiert, wenn wenn du zwei potenzen multipilizierst mit den exponenten?

10.05.2011, 21:12

miss luci

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$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{2} x^{\frac{-3}{2} })(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{4} } )=\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } -\frac{1}{2} x^{\frac{-3}{4} }+\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{4} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 21:15

Colt

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Nein nein, du musst die Exponenten addieren!!

10.05.2011, 21:20

miss luci

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$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{2} x^{\frac{-3}{2} })(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{-2}{4} } )=\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } -\frac{1}{2} x^{\frac{-3}{4} }+\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 21:23

Colt

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Oh man das läuft hier aus dem Ruder.

Zitat:

im endeffekt lande ich aber bei $\begin{eqnarray*} f''(x)=(\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } )(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } )(x^{\frac{-1}{2} } ) =(\frac{-1}{2} x^{\frac{-3}{2} } )(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{4} } ) \end{eqnarray*}$ oder?

Hier hattest du auf der rechten seite multipliziert statt addiert. und lass den linken teil wie er ist! smile

smile

10.05.2011, 21:38

miss luci

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super, mir ist grad 5 min der login verweigert worden, obwohl die daten gespeichert sind?!

nun denn, nächster versuch:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=(\frac{-1}{2}x^{\frac{-3}{2} } )(1+\sqrt{x} )+(\frac{1}{2} x^{-1} ) \end{eqnarray*}$

ich dreh durch!

10.05.2011, 21:49

Colt

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Ich glaub jetzt ist es richtig. Halleluja! ^^

10.05.2011, 21:55

miss luci

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Prost

danke!

11.05.2011, 02:02

opi

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Alternativer Lösungsvorschlag:

Die Benutzung der Produktregel läßt sich vermeiden, wenn man die erste Ableitung ausmultipliziert, also zu

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{-\frac{1}{2} } +1 \end{eqnarray*}$

Dann kommt man schneller auf

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 22:34

miss luci

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steh ich grad auf dem Schlauch? Ich lande beim ausmultiplizieren bei

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{\frac{-1}{2} } +x \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 22:55

opi

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Ich schreibe den Schritt, der bei Dir zu x führt, einmal ausführlich auf:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \cdot x^{-\frac{1}{2} } =x^{\frac{1}{2} } \cdot x^{-\frac{1}{2} }=x^{\frac{1}{2} -\frac{1}{2} } =x^{0} =1 \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 23:26

miss luci

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verdammt, habe $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ aus meinem Bewusstsein verdrängt. Danke.

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