orthogonale projektion

10.05.2011, 19:19	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale projektion Hallo Ich soll folgendes zeigen: Sei $\begin{eqnarray} U\subseteq V \end{eqnarray}$ ein R-Untervektorraum. $\begin{eqnarray} \forall v\in V\exists !u\in U:v-u\in U^{orthogonal} \end{eqnarray}$ , wobei v nicht in U sein soll. Mein Ansatz: In der Vorlesung haben wir wir schon gezeigt: $\begin{eqnarray} \exists !p\in Hom(V,U): <br /> 1) p(v)=v \forall v\in U <br /> 2) <v-p(v),w>=0 \forall v\in V, w\in U \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach ist mit diesem Lemma über die orthogonale Projektion schon die Existenz und die Eindeutigkeit bewiesen oder sehe ich das falsch? Gruß Biene
11.05.2011, 13:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: orthogonale projektion Hallo Biene, Die Existenz eines solchen u folgt in der Tat aus dem Lemma, indem man u=p(v) setzt. Allerdings ist die Eindeutigkeit von u nicht sofort ersichtlich, da das Lemma nur etwas über lineare Abbildungen sagt, die allen v solch ein u zuordnen. Theoretisch könnte es für ein gewisses v noch ein anderes u mit der geforderten Eigenschaft geben, nur dass man es eben nicht mit so einer linearen Abbildung erreichen kann. Letztlich ist das aber nur noch ein winzig kleiner Schritt. PS: $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ mit U^\perp Gruß, Reksilat.
11.05.2011, 15:14	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schon mal Reksilat Nehmen wir an p(v)=u wäre nicht eindeutig, dann gäbe es zu einem gewissen v zwei verschiedene u1 und u2. Das kann doch aber gar nicht sein, da sonst p(v) gar keine Abbildung definieren würde. Meinst du das damit?
11.05.2011, 15:30	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, in Deiner Aufgabenstellung taucht das p doch auch gar nicht auf. Es geht hier darum, zu untersuchen, ob es neben dem durch p bestimmten u1 noch ein weiteres u2 geben kann, das mit der Abbildung p nichts zu tun hat.

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