Eine merkwürdige Mengendefinition

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msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »
Eine merkwürdige Mengendefinition
Meine Frage:
Wir haben hier eine Aufgabe, in der man zeigen soll, dass die Menge X zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
Ich versteh aber bereits die Definition der Menge nicht:



Meine Ideen:
Ist hier gemeint mit den Komponenten ? Was wäre dann 0 Kreuz Intervall? wird da bei x=0 einfach y von -1 nach 1 aufgezogen?
Wie muss ich mir das Ding vorstellen?
GLn Auf diesen Beitrag antworten »

Jo fürs erste sind Tupel aus gemeint.

Beim 2. bin ich mir auch nicht sicher. Muss ja irgend einen Sinn geben, das 2. mit einem Tupel aus zu vereinigen.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge besteht einfach aus allen Elementen in , die entweder die Form

mit

oder

mit

haben.
Anschaulich ist das ein Stück der y-Achse, sowie ein Teil des Graphen von .

air
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
Ich definiere hier mal kurz als .

Mit der linken Menge ist natürlich nicht gemeint, sondern die Menge der geordneten Paare , wobei nur aus dem links-offenen Intervall genommen werden darf.

Das Paar ist deshalb nicht Element von (zumal auch nicht definiert ist!). Wohl ist aber das Paar Element von , sowie alle anderen Paare mit .

Es gilt aber natürlich auch , falls du das gemeint haben solltest.

Jetzt zur rechten Menge .

Wenn du verstehst, was das kartesische Produkt bedeutet, dann solltest du auch verstehen, wie die Menge aussieht!

Das kartesische Produkt ist ja definiert als , also die Menge aller geordneten Paare , wobei die erste Komponente aus genommen wird und die zweite Komponente aus .

ist nichts anderes als das kartesiche Produkt der Menge , die hier allerdings nur ein Element enthält und dem Intervall , das ja nichts anderes ist als die Menge aller reellen Zahlen zwischen -1 (incl.) und 1 (incl.).

sieht also ungefähr so aus: , wobei natürlich alle anderen möglichen Paare mit der ersten Komponente 0 und der rechten Komponente zwischen -1 und 1 auch Elemente von sind.

Und dein ist dann vereinigt mit .

Soweit zur Definition der Menge . Alles andere ist nun deine Aufgabe!

Zu spät! Habe mal wieder zu viel geschrieben!

Edit - Korrektur: Das links-offene Intervall (0; 1] war als offenes Intervall (0; 1) geschrieben!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
Ich definiere hier mal kurz als .


Pädagogisch sicher sinnvoll, dennoch sei angemerkt, dass diese Schreibweise natürlich höchst gefährlich und keineswegs eindeutig ist.

air
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
"keineswegs eindeutig" - stimmt (jetzt wo du es sagst ...)

Also A meint die linke Teilmenge der ursprünglich definierten Menge X, und B die rechte Teilmenge!

Aber "höchst gefährlich"? Mit etwas gutem Verständniswillen sollte die Welt davon nicht untergehen - oder habe ich noch was wesentliches übersehen?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da hast du recht. Mit der Gefährlichkeit bezog ich mich auf keinen Weltuntergang, sondern auf die verlorene Eindeutigkeit. Ich habe es auch nicht angemerkt, weil man es nicht versteht, sondern weil die Gefahr besteht, dass solche Schreibweisen übernommen werden.

Bei einem Übungsblatt bekommt man dafür schnell einen Abzug. Augenzwinkern

air
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
Airblader hat natürlich recht!

Deshalb: One more time for the world!

Ich definiere hier mal kurz und . Somit also .
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
Zitat:
Original von msc77777


M.E. stehen da rechts einmal zu viele Mengenklammern . Es ist ja und dementsprechend .
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine merkwürdige Mengendefinition
Zitat:
Original von jester.
Zitat:
Original von msc77777


M.E. stehen da rechts einmal zu viele Mengenklammern . Es ist ja und dementsprechend .


Ich denke, Du hast Recht - gut gesehen!

Aber wo steckt eigentlich der Fragesteller? Interessiert den das Thema auch noch?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Oh - ja, jester hat natürlich recht. Die Klammern habe ich auch überlesen. Augenzwinkern

air
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »

ja der Fragesteller hat alles mit verfolgt.

Vielen Dank für die ausführliche Antwort und die vielen Anmerkungen.
Hat mir sehr weitergeholfen!Gott

Jetzt muss ich nur noch die Aufgabe packen.

Wenn nochmals Fragen auftauchen, meld ich mich einfach wieder Wink
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich bins nochmal

Hab nun schon lange an der eigentlichen Aufgabe dran rumstudiert.
Ich wollt beim 1.) wissen, ob man das so machen kann und beim 2.) einen kleinen anschubser ... da komm ich nicht weiter.

Ich hab nun folgendes:

1.) z.z.:"X zshgd (zusammenhängend)":

Annahme X sei unzshgd (unzusammenhängend), dann existieren zwei offene disjunkte Mengen C,D mit

und




Seien nun



O.B.d.A:

Definiere:

Da offen, ist
und somit und da sogar

Somit auch , da offen.

Aber:
Widerspruch

2.)z.z. "X nicht wegzshgd"
Ann.: X sei wegzshgd, dann exist. für bel. Punkte eine stetige Fkt. mit
Das war einfach nach Definition. Aber wie wende ich dass jetzt an? Kann ich so argumentieren, dass ich definieren muss, da gamma von x in A liegen muss für alle x Element von [a,b]? Und wie zeig ich dann, dass dieser nicht auf das Null "hüpfen kann"? Denn da liegt ja wohl das Problem der Wegzusammenhängigkeit.

Bin froh um jede Hilfe!
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

  1. C ist nicht offen, ansonsten wäre X ja automatisch wegzusammenhängend.
  2. Dass X zusammenhängend ist, kannst du direkt zeigen. Ist eigentlich eine sehr simple Überlegung, die du sicher auch schon im Kopf hast, dich aber nicht getraut hast, es hinzuschreiben, weil es ein Einzeiler ist.
  3. Um fehlende Wegzusammenhängigkeit zu zeigen, kannst du einfach ausnutzen, dass nicht existiert.

MfG
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huy

Danke für deine Antwort.

1.)
C hatte ich ja offen definiert, um einen Widerspruch hervorzurufen. Also entweder muss C oder D abgeschlossen sein.

2.)
Meinst du hier, dass jede epsilon-Kugel in B für alle epsilon kleiner Null Elemente aus A enthalten?
So müsste man aber noch zeigen, dass A und B zshgd sind, oder? Das wäre dann aber nicht ganz einzeilig...

3.)
Ja klar. Für die Wegfunktion gamma muss gelten: gamma(x)=sin(1/x) und diese erreicht den Punkt (0,0) nicht.

Danke und Gruss
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

1. Sorry, da habe ich das C mit dem X verwechselt.
2. In jeder Umgebung der 0 liegt ein Stück von sin 1/x, damit ist X ja schon zusammenhängend. ^^

MfG
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