Polynomring über ganze Zahlen

10.05.2011, 21:16

Peety

Polynomring über ganze Zahlen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{i=0}^{n}a_k x^k \end{eqnarray*}$ ein Polynom. Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ und sind $\begin{eqnarray*} p,q\in\mathbb{Z}\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \textrm{ggT}\left(\frac{p}{q}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{p}{q}\right)=0 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} p|a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q|a_n \end{eqnarray*}$ (" $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ")

Die Teilerrelation ist wie folgt definiert für $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a|b:\Leftrightarrow\exists m\in\mathbb{Z}:\, b=a\cdot m \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo,

Irgendwie steh ich bei der Aufgabe ziemlich aufm Schlauch. Meine erste (wahrscheinlich schwachsinnige) Überlegung bezüglich $\begin{eqnarray*} p|a_0 \end{eqnarray*}$ war:
$\begin{eqnarray*} && f\left(\frac{p}{q}\right)=0\\\Leftrightarrow && a_n\cdot\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\cdot\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\ldots + a_1\cdot\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0\\\Leftrightarrow &&p\cdot\underbrace{\left(-a_n\cdot\left(\frac{p^{n-1}}{q^n}\right)-a_{n-1}\cdot\left(\frac{p^{n-2}}{q^{n-1}}\right)-\ldots - a_1\cdot\left(\frac{1}{q}\right)\right)}_{\in\mathbb{Z}\,\textrm{???}}=a_0 \end{eqnarray*}$
Hat wahrscheinlich keine Zukunft smile

. Außerdem weiß ich nicht wie ich es ausnutzen kann, dass $\begin{eqnarray*} ggT(p, q) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Ich wäre für einen Tipp dankbar.

Viele Grüße

10.05.2011, 22:15

tigerbine

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RE: Polynomring über ganze Zahlen
Schau mal hier rein:
ganzzahlige Nullstelle [ÜAB]

10.05.2011, 23:27

Peety

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Hey,

Danke für deine Antwort. Hab jetzt herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} p|a_0\cdot q \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ja teilerfemd sind, sollte ich ja fertig sein. Für $\begin{eqnarray*} q|a_n \end{eqnarray*}$ sollte es ja analog verlaufen Big Laugh

. Vielen Dank noch einmal.

10.05.2011, 23:36

tigerbine

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Zitat:

Original von Peety
Hey,

Danke für deine Antwort. Hab jetzt herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} p|a_0\cdot q \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ja teilerfemd sind, sollte ich ja fertig sein. Für $\begin{eqnarray*} q|a_n \end{eqnarray*}$ sollte es ja analog verlaufen Big Laugh

. Vielen Dank noch einmal.

p und q sind teilerfemd..

10.05.2011, 23:49

Peety

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Ich weiß, hab mich nur vertippt, sonst würde meine Aussage ja auch garkeinen Sinn machen

10.05.2011, 23:50

tigerbine

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Wollte ja nur darauf hinweisen. Wink

11.05.2011, 23:13

Buggy

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Also sehe ich das richtig, dass man hieraus $\begin{eqnarray*} p|a_0\cdot q \end{eqnarray*}$ schließt, dass das hier gilt: $\begin{eqnarray*} p|a_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, warum?

11.05.2011, 23:19

tigerbine

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Was bedeutet es, dass p und q teilerfremd sind?

11.05.2011, 23:22

Buggy

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Dass es kein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt mit p * m = q ?!

11.05.2011, 23:26

tigerbine

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Die symmetrische Notation würde dich weiter bringen.