Fourier-Reihe

09.12.2006, 20:23

Parabelflug

Fourier-Reihe

Hi,

hab folgendes Problem:

Mittels Fourier-Reihen soll folgendes bewiesen werden: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{4}} = \dfrac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$ , wobei die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden: $\begin{eqnarray*} <f_{n}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \, \pi}} \, \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \, n \, t} \, f(t) dt \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand eine Idee?

Danke

09.12.2006, 22:15

Abakus

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RE: Fourier-Reihe
Kennst du die Parseval'sche Gleichung ? Damit ginge es.

Grüße Abakus smile

10.12.2006, 12:25

Parabelflug

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RE: Fourier-Reihe
Danke, die Parseval'sche Gleichung kannte ich bisher nicht.

Habs mal versucht damit auszurechnen:

als Funktion hab ich $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Also: $\begin{eqnarray*} <f,f> = \dfrac{2 \, \pi}{5} \end{eqnarray*}$ und die Koeffizienten: $\begin{eqnarray*} a_{0} = <f_{0}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{2}{3} \, \pi^3 \qquad a_{n} = <f_{n}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{4\, \pi}{n^{2}} \, (-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Laut Pars. Gleichung soll gelten: $\begin{eqnarray*} <f, f> = \dfrac{a_{0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich das obige hier einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^4} = \dfrac{13 \, \pi^4}{360} \end{eqnarray*}$ . Leider kommt nicht das gewünschte Ergebnis raus.

Ich finde leider auch keinen Fehler, weißt du was ich falsch gemacht habe?

10.12.2006, 14:01

Abakus

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Parabelflug
Danke, die Parseval'sche Gleichung kannte ich bisher nicht.

Habs mal versucht damit auszurechnen:

als Funktion hab ich $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Also: $\begin{eqnarray*} <f,f> = \dfrac{2 \, \pi}{5} \end{eqnarray*}$

Die richtige Funktion hast du gefunden, gut soweit. Das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ muss hier jedoch in der 4-ten Potenz stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t^4 \dd t = \frac{2}{5}\cdot \pi^4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

und die Koeffizienten: $\begin{eqnarray*} a_{0} = <f_{0}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{2}{3} \, \pi^3 \qquad a_{n} = <f_{n}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{4\, \pi}{n^{2}} \, (-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Hier arbeitest du vermutlich mit einer falschen Formel für die Fourierkoeffizienten und musst nochmal richtig ansetzen. Du brauchst:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cdot \cos (nt)~ \dd t \end{eqnarray*}$

Die restliche Rechnung geht dann so, wie du es schon gemacht hast.

Grüße Abakus smile

10.12.2006, 14:39

Parabelflug

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RE: Fourier-Reihe
sorry, hab ein kleinen Tipp-Fehler gemacht: ich bekomme hier folgendes: $\begin{eqnarray*} <f,f> = \dfrac{2 \, \pi^{5}}{5} \end{eqnarray*}$

ich komme auf das richtige Ergebnis, wenn ich im Skalarprodukt statt dem Normierungsfaktor $\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ verwende. Aber mein Skalarprodukt ist eben so definiert:
$\begin{eqnarray*} <f, g> = \int_{-\pi}^{\pi}\overline{f(t)} \, g(t) \, dt \end{eqnarray*}$ und gegeben ist $\begin{eqnarray*} \left\lbrace f_{n}(t) = \dfrac{e^{i \, n \, t}}{\sqrt{2 \pi}}, n \in \mathbb{Z} \right\rbrace \end{eqnarray*}$ (vollst. Orthonorm.-System), Fourierkoeffizienten sind $\begin{eqnarray*} <f_{n}, f> \end{eqnarray*}$ .

Ich kann ja nicht einfach den Normierungsfaktor ändern, oder? Gibt es eine Möglichkeit das mit dem gegeben zu lösen?

Danke und Gruß
Parabelflug

10.12.2006, 15:42

Abakus

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Parabelflug
als Funktion hab ich $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Also: $\begin{eqnarray*} <f,f> = \dfrac{2 \, \pi^5}{5} \end{eqnarray*}$ und die Koeffizienten: $\begin{eqnarray*} a_{0} = <f_{0}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{2}{3} \, \pi^3 \qquad a_{n} = <f_{n}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{4\, \pi}{n^{2}} \, (-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Laut Pars. Gleichung soll gelten: $\begin{eqnarray*} <f, f> = \dfrac{a_{0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ .

Mit diesem Skalarprodukt müsste es auch gehen: ich habe es mit deinen Zahlen hier durchgerechnet (das eine Pi muss in die 5-te Potenz dann, das hab ich hier gleich geändert). Da kommt das Richtige raus Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

10.12.2006, 16:22

Parabelflug

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RE: Fourier-Reihe
Bekommst du wirklich das richtige Ergebnis?

Ich erhalte immer noch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^4} = \dfrac{13 \, \pi^4}{360} \end{eqnarray*}$ .
Rechenfehler ist schonmal auszuschließen (Taschenrechner Augenzwinkern

)
Ich hab auch nur die Zahlen $\begin{eqnarray*} <f,f> = \dfrac{2 \, \pi^{5}}{5} \end{eqnarray*}$ und die Koeffizienten: $\begin{eqnarray*} a_{0} = <f_{0}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{2}{3} \, \pi^3 \qquad a_{n} = <f_{n}, f> = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{4\, \pi}{n^{2}} \, (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} <f, f> = \dfrac{a_{0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} <f, f> = a_{0}^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ verwende komme ich auf das richtige Ergebnis.

Das sollte doch nicht so sein, oder?

Danke und Gruß
Parabelflug

10.12.2006, 17:22

Abakus

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RE: Fourier-Reihe
Dann rechnen wir:

$\begin{eqnarray*} <f, f> = \dfrac{a_{0}^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$

Wir setzen ein:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{2 \, \pi^{5}}{5} = 2 \cdot (\dfrac{( \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{2}{3} \, \pi^3 )^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \dfrac{4\, \pi}{n^{2}} \, (-1)^{n})^2) \end{eqnarray*}$

Das Ganze vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{2 \, \pi^{5}}{5} = 2 \cdot (\dfrac{ \dfrac{1}{2 \pi} \, \dfrac{4}{9} \, \pi^6 }{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2 \pi} \, \dfrac{16\, \pi^2}{n^{4}}) \end{eqnarray*}$

Nach Kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \pi^5 = \frac{2}{9} \pi^5 + 16 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$

Damit stimmt es. Beachte, dass du noch komplexe Fourierkoeffizienten in die reellen umrechnen musst, die Koeffizientenbeziehungen lauten (jetzt für das übliche Skalarprodukt):

$\begin{eqnarray*} \alpha_j = \frac{a_j-ib_j}{2},~\alpha_{-j} = \frac{a_j + ib_j}{2} \end{eqnarray*}$

Insgesamt musst du bei dir also die rechte Seite noch mit 2 multiplizieren (bei dir musst du ggf. die Fourierkoeffizienten nur mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?).

Grüße Abakus smile

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