Ordnung der Permutationsgruppe S8

11.05.2011, 10:14

Wuppi

Ordnung der Permutationsgruppe S8

Meine Frage:
Hallo,

ich verzweifle an einem Übungsblatt.

Gegeben ist eine Permutationsgruppe $\begin{eqnarray*} (G,\cdot) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3 & 2 & 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 6 \end{pmatrix}[latex]<br /> <br /> Auf diesem Blatt wird auch das erste mal der Begriff der Ordnung eingeführt und definiert mit: <br /> Für ein [latex]g\in G \end{eqnarray*}$ die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} g\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ die Ordnung von g

Meine Ideen:
Leider komme ich auf keinen Ansatz weil ich nicht weiß wie es gemeint ist. Google bringt auch keine Erleuchtung.

Für Tipps und Ansätze wäre ich sehr dankbar.

Danke,
Wuppi

11.05.2011, 11:32

Shalec

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RE: Ordnung der Permutationsgruppe S8

Zitat:

Original von Wuppi
Meine Frage:
Hallo,

ich verzweifle an einem Übungsblatt.

Gegeben ist eine Permutationsgruppe $\begin{eqnarray*} (G,\cdot) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3 & 2 & 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auf diesem Blatt wird auch das erste mal der Begriff der Ordnung eingeführt und definiert mit:
Für ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} g\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ die Ordnung von g

Also einführend:
$\begin{eqnarray*} g^n=e \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du beliebige Gruppenelemente nehmen kannst, die dann "n-fach" auf sich selbst angewendet das neutrale Element ergeben. D.h. du hast eine Gruppen Ordnung von n. Also: |G|=|<g>|=n. (dies gilt für alle zyklischen Gruppen).

Du hast nun ein Element gegeben. Aus der linearen Algebra ist es iR bekannt, wie eine solche Permutation zu lesen ist. Oben stehen die zu betrachtenden Element (bzw. viel mehr die Position der Elemente) und darunter auf welche Position dieses Element verschoben wird. D.h. hier steht: 1 -> 3, 3-> 7, 7->5, 5->1 (später wirst du noch die schreibweise eines Zykels kennen lernen) usw..

so. Nun guck dir das mal an:
sei nun einfach dein element $\begin{eqnarray*} g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3 & 2 & 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann wende dieses 8-mal auf sich an und notiere dir alle Elemente davon.

also notiere dir: g, g^2, g^3,...,g^8,g^9 (du verknüpfst abbildungen g°f und liest erst f, dann g) und bemerke, dass du hier nur linearkombinationen von g betrachtest. da deine gruppe von g erzeugt wird, hast du die gesamte zyklische Gruppe bereits gebildet. Die S_8 hat eine Gruppenordnung von:

|S_8|=8!=2*3*4*5*6*7*8
und wird als symmetrische Gruppe benannt. (Zur veranschaulichung: stell dir vor, dass du 8 Bücher im Regel stehen hast, die du eindeutig unterscheiden kannst. In welcher Reihenfolge kannst du diese Bücher erneut in deinem Regal anordnen? Wieviele mögliche Anordnungen existieren?)

für weiteres guck mal erstmal dort: Gruppen, Untergruppen usw.

und wenn du noch fragen hast, frag Augenzwinkern

Prinzipiell beschreibt die Ordnung einer Gruppe, wieviele Elemente in der Gruppe enthalten sind. Bei zyklischen Gruppen ist das gerade die Anzahl der möglichen Kombinationen von einem Element, sodass es wieder das neutrale Element bzw. die Identität ist.

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