Isotopie zwischen 2 Kreisen

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Lailaaa Auf diesen Beitrag antworten »
Isotopie zwischen 2 Kreisen
Meine Frage:
Hallo!

Ich soll zeigen, dass zwei ebene Kreise immer ambient isotop sind und dafür eine Isotopie angeben.

Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp zum Ansatz geben?



Meine Ideen:
Ich hab versucht über

c_1 (t) = x_1 + r_1(cos t,sin t)

c_2 (t) = x_2 + r_2(cos t,sin t)

irgendwie so umzuformen, dass ich eine Isotopie finde, bin aber kläglich gescheitert.

Ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Lailaaa Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab mir folgendes überlegt:

Sei p ein Punkt auf c_1, den ich verschieben möchte, also p = x_1 + r_1 (cos (phi), sin (phi))

Den Mittelpunkt verschiebe ich mit t*x_2 +(1-t)*x_1

Den Radius strecke ich durch (t*(r_2/r_1) + (1-t))(p-x_1)

also die Isotopie

I(t,p) = t*x_2 +(1-t)*x_1+ (t*(r_2/r_1) + (1-t))(p-x_1)

Dann ist I(0,p) = c_1 und I (1,p) = c_2

Oder ist das viel zu kompliziert? Was meint ihr dazu?

DANKE!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende LATEX, damit das lesbar wird.

Zur Aufgabe die folgende Idee: Eine zentrische Streckung bildet den ersten auf den zweiten Kreis ab. Der Streckfaktor ist das Verhältnis von Bildradius zu Urbildradius. Das Streckzentrum liegt auf der Zentralen (Verbindungsgerade der Mittelpunkte). Eine weitere Gerade, auf der das Streckzentrum liegen muß, findest du, wenn du einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindest, etwa die Endpunkte von zur Zentralen senkrechten Radien.

Im Anhang befindet sich eine Euklid-Datei, mit der du dir das anschauen kannst. Das Programm Euklid gibt es hier.
Lailaaa Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!!

Ich hab leider kein Windows und kann mir deshalb das Programm nicht runterladen...

Aber im Prinzip hab ich doch das gemacht, was du gesagt hast, oder? Nur warum ich die zweite Gerade habe, verstehe ich nicht ganz.

Hier nochmal meine Lsg mit Latex (sorry, wusste nicht, dass das geht). Vielleicht kannst du ja nochmal schnell drüber schauen, ob das stimmt...

Angenommen ich habe die beiden Kurven


Sei p ein Punkt auf , den ich verschieben möchte.

Den Mittelpunkt verschiebe ich mit

Den Radius strecke ich durch

also die Isotopie



Dann ist und
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