Lokale Integrierbarkeit

11.05.2011, 13:02	Kneipenintegrand	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Integrierbarkeit Meine Frage: Hallo Ich beschäftige mich gerade mit Kapitel 14 aus dem Forster 3, in dem es um die Integration auf Untermannigfaltigkeiten geht. Gegeben ist eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , die von endlich vielen Karten $\begin{eqnarray} \phi_j: T_j \rightarrow V_j \subset M, j = 1, ..., m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcup V_j = M \end{eqnarray}$ überdeckt wird. Setzt man $\begin{eqnarray} W_j := V_j \backslash \bigcup\limits_{i<j}V_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_j := 1_{W_j} \end{eqnarray}$ , so soll $\begin{eqnarray} t \mapsto \alpha_j(\phi_j(t)) \end{eqnarray}$ lokal integrierbar auf $\begin{eqnarray} T_j \end{eqnarray}$ sein. Aber warum ist das so? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist beschränkt, das ist ja schon mal gut. Außerdem gilt $\begin{eqnarray} \alpha_j(\phi_j) = 1_{\phi_j^{-1}(W_j)} \end{eqnarray}$ . Ich dachte zuerst, dass das jetzt als beschränkte, offene Menge integrierbar ist. Aber W_j ist als Differenz der offenen Mengen V_i ist ja gar nicht (unbedingt) offen. Ansonsten hab ich nicht so die Idee. Gruß, Kneipenintegrand
11.05.2011, 15:35	Kneipenintegrand	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt. Die Differenz ist nicht unbedingt offen, aber messbar. Gruß an rio ;-) Kneipenintegrand

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